équation différentielle principe de superposition

[nix64]

Bonjour
je commence ma question par cité le principe de linéarité

là l explication/ proposition est claire je dirai même que ce résultat provient de linéarité de l equation et de l application :
voyons maintenant le principe de superposition que je ne comprends pas clairement d ou ça vient

je ne comprends pas comment ça provient de la linéarité de l équation ??

[pascal16]

oui, on a envie de dire "mais c'est affine, pas linéaire".

soit f et g deux solutions de E
considérons g comme la solution particulière
et f n'importe quelle fonction solution
f-g est une solution de Eo

soit h=f-g solution de Eo
on a donc f=g+h
dit que toute solution f de E s'écrit comme la somme de la solution g particulière et de h solution de Eo.
La réciproque étant vraie, on a ce que l'on voulait.

[nix64]

oui, on a envie de dire "mais c'est affine, pas linéaire".

soit f et g deux solutions de E
considérons g comme la solution particulière
et f n'importe quelle fonction solution
f-g est une solution de Eo

soit h=f-g solution de Eo
on a donc f=g+h
dit que toute solution f de E s'écrit comme la somme de la solution g particulière et de h solution de Eo.
La réciproque étant vraie, on a ce que l'on voulait.

merci très élégante la preuve mais astucieuse vraiment

[pascal16]

C'est marrant, perso, je n'ai jamais fait la théorie complète de la géométrie vectorielle affine et il y a quelques jours, j'ai aidé pour un exo.
Et c'est comme ça que m'est revenue l'idée de ce calcul bien utile pour les équations différentielles linéaires.
Certes, la rédaction n'est pas celle d'un Ben64, mais c'est plein de bon sens avant tout.