équation différentielle(principe fondamental de la dynamique

[Orph123]

Bonjour,

Je voudrais savoir s'il est possible de déterminer une fonction v qui prend comme variable t tel que m*dv/dt + k*v^2 = m*g?

En fait je cherche a calculer la vitesse d'un corps qui tombe et qui est soumit au frottements de l'air et a la gravité.
Le principe fondamental de la dynamique donne:

m*a=m*g - kv2 => m*dv/dt + k*v^2 = m*g
avec: m, g et k sont des cstes
et là je suis bloqué pour déterminer ma vitesse.
Pourriez vous m'aider à résoudre ce problème?
(je suis en première année prépa MPSI)

[Black Jack]

Bonjour,

m*dv/dt + k*v^2 = m*g (avec k < 0 car les frottements ralentissent le mouvement)

Pour éviter les méprises, je n'utilise que des constantes positives et je pose donc k = - K,
l'équation devient :

m*dv/dt - K * v^2 = m*g (avec m, g et K des constantes POSITIVES)

dv/(g - (K/m).v²) = dt

On intègre -->





Si on a la condition initiale que v(0) = 0, alors on obtient :



(Avec th() la fonction "tangente hyperbolique")

On peut trouver un équivalent en utilisant des ln() (on n'a plus alors de th())

[Orph123]

Merci pour votre réponse.
Je partagerais sur le lien ci-dessous la partie du cours qui traite cette situation et que je n'arrive pas à bien comprendre.
[url][/url]https://www.camscanner.com/share/show?encrypt_id=MHhkYmM2MGY2MQ%3D%3D&sid=71F121415EC8487Ey57E67f5&pid=dsa&style=1

Si vous parvennez a comprendre comment on a fait pour trouver l expression de la vitesse, je vous prie de me l'expliquer et mercii.

[Black Jack]

Je peux un peu expliquer la démarche que j'ai suivie ... et aussi la manière de se passer (si on veut) de la tangente hyperbolique ... et utiliser les logarithmes népériens.

A partir de : dv/(g - (K/m).v²) = dt

Poser v = RacineCar(gm/K) * u (1)
dv = RacineCar(gm/K) du

dv/(g - (K/m).v²)
= RacineCar(gm/K) du/(g - (K/m)*(gm/K) * u²)
= RacineCar(gm/K) du/(g - g * u²)
= RacineCar(m/(Kg)) du/(1 - u²)

L'équation devient donc :

RacineCar(m/(Kg)) du/(1 - u²) = dt

et en intégrant :

RacineCar(m/(Kg)) S du/(1-u²) = S dt

RacineCar(m/(Kg)) argth(u) = t + C

et avec (1) -->

RacineCar(m/(Kg)) argth(RacineCar(K/(mg)) * v) = t + C

On arrive à la relation de mon message précédent ...
*****

Si on ne connait pas la fonction argth(), on peut éviter le problème :

Quand on est arrivé à : RacineCar(m/(Kg)) S du/(1-u²) = S dt

On peut décomposer du/(1-u²) en (1/2) * du/(1-u) + (1/2) * du/(1+u)

Et quand on intègre, on a alors des ln|| ...

[Orph123]

PARFAIIIT!!! L'image est claire maintenant. Je vous remercie!!!