Équation différentielle de premier ordre et second

[eloisem]

Bonjour,

Je prépare actuellement mes partiels et pour cela j'essaye de refaire un ancien partiel mais je ne sais pas si ce que j'ai fais est correct et à certaines questions je n'arrive pas à répondre.

Equation (E) : y''-5y'+6y=sin(x)

1) equation homogène (EH) ? y''-5y'+6y=0
2) equation caractéristique associé à (EH)? R^2-5R+6
3) résoudre l'équation caractéristique :
delta = 1 avec x1= 3 et x2= 2
soit K1*e^3 + K2*e^2x
4) chercher une solution de (E), de la forme asin(x) + bcos(x) :
6y=6asin(x) + 6b cos(x)
-5y'= -5bsin(x) + 5acos(x)
y''= -asin(x) - bcos(x)

soit (5a -5b)*sin(x) + (5b +5a)*cos (x) = sin(x)
donc système :5a-5b=1
5b+5a=0
donc b= -5/30 et a = (-25/30)/5
Pour les réponses du système je ne suis pas sure...

et j'ai un autre exercice c'est:
1) Domaine de définition et fonction dérivée de la fonction A(x)=xln(x)-x :
j'ai mis que le domaine était ]0;+inf[ et dérivé : A'(x) = ln(x) +x*1/x - 1
2)résoudre l'équation de premier ordre : y'-ln(x)*y=0
y'=ln(x)*y
y'/y=ln(x) +C
on intègre: ln[y]=x*ln(x) -x
y0=K*e^xln(x)-x, avec K appartient à R

Je ne sais pas si il faut faire quelque chose après ou non ...

merci pour vos réponse !

[mathelot]

bonsoir,
concernant la solution particulière je trouve

[eloisem]

Comment arrivez vous à ce résultat? Je ne vois pas

[mathelot]

e^2x
4) chercher une solution de (E), de la forme asin(x) + bcos(x) :
6y=6asin(x) + 6b cos(x)
-5y'= -5bsin(x) + 5acos(x)
y''= -asin(x) - bcos(x)

soit (5a -5b)*sin(x) + (5b +5a)*cos (x) = sin(x)
donc système :5a-5b=1
5b+5a=0
donc b= -5/30 et a = (-25/30)/5
P

il y a une erreur de signe au niveau du calcul de -5y'

[eloisem]

La dérivé de cos et - sin je ne vois pas l'erreur...

[mathelot]

pour la (2)
avec K réel.

[eloisem]

d'accord merci bcp!

[eloisem]

Pour le reste,, savez vous si j'ai bon?

[mathelot]

Pour le reste,, savez vous si j'ai bon?

oui , c'est exact.
pour la question (2), ne pas oublier de simplifier A' en A'(x)=ln(x)
ainsi est une primitive de ln.