Equation différentielle polynomiale

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Ombre31
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Equation différentielle polynomiale

par Ombre31 » 22 Juin 2018, 16:23

Bonjour !

Je suis (encore) étudiant ingénieur, et je suis cette fois confronté à un petit problème de thermique. Après quelques tribulations, je suis arrivé à une équation différentielle d'ordre 1 mais de degré 4 (je suis même pas sûr que ce que je viens de dire ait un sens... désolé si ce n'est pas le cas). Ca sera plus clair en l'écrivant :



Autant lorsqu'il n'y a pas la puissance 4, je me débrouille bien (et puis les exemples pullulent sur Internet), autant avec cette fameuse puissance je suis embêté... j'ai rapidement tenté un changement de variable , mais ça ne m'a pas vraiment plus avancé.

Voilà, j'espère juste que ce que je demande n'est pas un truc archi-basique, autrement je me sentirai un peu bête x)

Des idées ?



Yezu
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Re: Equation différentielle polynomiale

par Yezu » 22 Juin 2018, 18:21

Bonjour,

Je ne sais pas si je vais vraiment t'aider avec ce que je dis, mais sans le terme en "B" j'arrive à résoudre; ça donnera des idées peut-être ! Moi-même étudiant encore, peut-être que d'autres personnes (expertes ^^) viendront plus tard expliquer comment la résoudre complètement.

Il s'agit d'un EDO de Bernoulli (sans le B)

Ces dernières sont de la forme : ,
fonctions connues et (il me semble qu'il puisse même être dans mais il faut vérifier).

Ici tu as :




La méthode consiste à multiplier l'égalité par et à faire le changement de variable : .
L'équation se transforme alors en : . Résoluble par les méthodes classiques (séparables/ var. constante ..)

Avec le B, j'ai essayé de multiplier l'égalité par T, et faire un changement de variable pour faire apparaître du Bernoulli, mais rien.
Peut-être que c'est évident mais je ne vois pas, en espérant que les "experts" te viennent en aide !

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mathelot
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Re: Equation différentielle polynomiale

par mathelot » 23 Juin 2018, 02:00

bonsoir,
l'équation est à variables séparées:

il reste à primitiver une expression de la forme:
avec

aviateur
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Re: Equation différentielle polynomiale

par aviateur » 23 Juin 2018, 10:32

Bonjour
Pour faire suite aux indications de @mathelot, je fais la remarque suivante:
Visiblement il s'agit d'un problème concret donc A et B sont des paramètres physiques. C'est à dire que la suite des calculs va dépendre du signe de ces paramètres. Il serait bien de préciser si par exemple A,B sont positifs
(c'est surement le cas mais ???)

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mathelot
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Re: Equation différentielle polynomiale

par mathelot » 23 Juin 2018, 18:42


Ombre31
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Re: Equation différentielle polynomiale

par Ombre31 » 25 Juin 2018, 10:52

Désolé d'avoir mis 2 jours à répondre, je n'avais pas Internet ce week-end ! Dans mon cas, A est positif et B est négatif (j'aurai dû préciser c'est vrai...).

Je vais essayer de creuser ta piste Yezu, je n'y avais pas pensé !

Après, vu la primitive donnée par Wolfram, je sais pas si j'ai envie de continuer à le faire à la main... x)

aviateur
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Re: Equation différentielle polynomiale

par aviateur » 25 Juin 2018, 12:18

Ombre31 a écrit:Désolé d'avoir mis 2 jours à répondre, je n'avais pas Internet ce week-end ! Dans mon cas, A est positif et B est négatif (j'aurai dû préciser c'est vrai...).
Je vais essayer de creuser ta piste Yezu, je n'y avais pas pensé !

Après, vu la primitive donnée par Wolfram, je sais pas si j'ai envie de continuer à le faire à la main... x)


C'est un peu naïf de dire cela:

En effet, j'ai tout de même demandé le signe des constantes car le calcul en dépend. Ensuite Wolfram ce n'est qu'une machine qui en particulier ne se pose pas la question du signe des constantes!!!!

Les différents intervenants t'ont donné la démarche donc pas besoin de Wolfram.
Je résume l'aide et j'avance un peu les choses
tu est amené à calculer ( maintenant a,b sont>0)
En effectuant le changement de variable x=a/bt, l'intégrale se ramène au calcul de à
Et il bien connu que pour intégrer une fraction rationnelle il faut la mettre sous sa forme simple,i.e .

reste à calculer la primitive de chaque terme ce qui se fait facilement.

Maintenant concernant l'idée de @Yezu, c'est bien d'avoir des idées mais il faut parfois se dire si cela vaut le coup de poursuivre. A mon avis non, en effet il résout avec B=0. Mais ici l'équation n'est pas linéaire donc il vaut mieux rester avec la résolution préconisée ci-dessus.
Modifié en dernier par aviateur le 25 Juin 2018, 12:25, modifié 1 fois.

Black Jack

Re: Equation différentielle polynomiale

par Black Jack » 25 Juin 2018, 12:19

Salut,

A > 0 et B < 0 ... c'est le cas le plus simple.

A*(T^4 + B/A) (avec B/A < 0)

A*(T^4 + B/A) = A * (T² - V(-B/A)).(T² + V(-B/A)) = A.(T - (-B/A)^(1/4)).(T + (-B/A)^(1/4)).(T² + V(-B/A))

1/(A.T^4 + B) = (1/A) * [C/(T - (-B/A)^(1/4)) + D/(T + (-B/A)^(1/4)) + E/(T² + V(-B/A))]

Il suffit de déterminer les valeurs de C, D et E (c'est sans difficultés)

Et on a :

S dT/(A.T^4 + B) = (C/A).ln|T - (-B/A)^(1/4)| + (D/A).ln|T + (-B/A)^(1/4)| + ((E/A)/(-B/A)^(1/4)).arctan(T/((-B/A)^(1/4)))

Et donc (voir message du 23 Juin 2018 01:00) :

(C/A).ln|T - (-B/A)^(1/4)| + (D/A).ln|T + (-B/A)^(1/4)| + ((E/A)/(-B/A)^(1/4)).arctan(T/((-B/A)^(1/4))) = -t + cte

Voila, il reste juste à déterminer C,D et E (c'est un poil calculatoire mais sans vraie diffilculté

8-)

Ombre31
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Re: Equation différentielle polynomiale

par Ombre31 » 26 Juin 2018, 12:24

D'accord, merci pour vos réponse vous deux !

 

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