Équation différentielle d'ordre 2

[MathT]

Bonjour à tous,

Je suis tombé sur une équation différentielle linéaire d'ordre 2 de ce type :

x²y" + xy' + (ax + b)y = 0

Je n'arrive cependant pas à trouver les solutions à cette équation. La résolution est facile lorsque 'a' est nul mais dans le cas contraire, cela semble plus compliqué. J'ai essayé plusieurs changements de variable, changement de fonctions et cherché (en vain) des solutions particulières mais ça n'a rien donné.
Je viens alors vous demander si cette équation est résoluble (je sais que des méthodes d'algèbre peuvent prouver cela mais les maths n'étant pas ma spécialité, c'est hors de ma portée) et si oui, auriez-vous une vague idée pour tenter de résoudre cette équation ?

Je vous remercie d'avance.

[Pisigma]

Bonjour,

elle sort d'où ton équation?

vois un peu ici https://www.wolframalpha.com/input?i=x%C2%B2y%22+%2B+xy%27+%2B+%28ax+%2B+b%29y+%3D+0 la solution donnée par Wolfram

veux-tu vraiment résoudre cette équation?

[MathT]

Merci pour ta réponse, j'avais peur que la solution soit un peu technique (fonction de Bessel, fonction Gamma) mais au moins j'ai une solution !

Cette équation vient de la seconde loi de Newton et cela décrit l'évolution de la vitesse lorsque la masse varie et que les frottements sont quadratiques.

[Black Jack]

Merci pour ta réponse, j'avais peur que la solution soit un peu technique (fonction de Bessel, fonction Gamma) mais au moins j'ai une solution !

Cette équation vient de la seconde loi de Newton et cela décrit l'évolution de la vitesse lorsque la masse varie et que les frottements sont quadratiques.

Bonjour,

Si j'étais toi, je vérifierais l'équation différentielle.

Si y est la vitesse et x la distance parcourue, il me semble bien que ton équation différentielle n'est pas homogène.

De plus, les dérivées devraient probablement être faites par rapport au temps, alors que écrites telles quelles, on les considère comme des dérivées par rapport à x.

Comme je n'ai pas toutes les données du problème, il est possible que j'interprète mal ton équation ... qui me paraît très suspecte pour représenter ce que tu dis.

[MathT]

En effet vu comme ça cela paraît suspect mais c'est parce cette équation différentielle linéaire découle déjà d'une équation différentielle non-linéaire grâce à un changement de variable. La variable x n'a donc aucun sens physique. En résolvant l'équation présentée au début du sujet, je pouvais donc remonter les différents changements de variable et avoir la vitesse en fonction du temps.

Ici, x = m0 - q*t où m0 est la masse initiale du système et q le débit de masse. Tout cela par de l'équation :
v' + k/(m0-q*t)*v² = F/(m0-q*t)-g

On obtient l'équation linéaire du second ordre par la résolution de Riccati.

[Black Jack]

En effet vu comme ça cela paraît suspect mais c'est parce cette équation différentielle linéaire découle déjà d'une équation différentielle non-linéaire grâce à un changement de variable. La variable x n'a donc aucun sens physique. En résolvant l'équation présentée au début du sujet, je pouvais donc remonter les différents changements de variable et avoir la vitesse en fonction du temps.

Ici, x = m0 - q*t où m0 est la masse initiale du système et q le débit de masse. Tout cela par de l'équation :
v' + k/(m0-q*t)*v² = F/(m0-q*t)-g

On obtient l'équation linéaire du second ordre par la résolution de Riccati.

Bonjour,

Sans changement de variables ...
Sous la condition initiale v(0) = 0, on trouve :



A vérifier bien entendu.

[MathT]

En effet vu comme ça cela paraît suspect mais c'est parce cette équation différentielle linéaire découle déjà d'une équation différentielle non-linéaire grâce à un changement de variable. La variable x n'a donc aucun sens physique. En résolvant l'équation présentée au début du sujet, je pouvais donc remonter les différents changements de variable et avoir la vitesse en fonction du temps.

Ici, x = m0 - q*t où m0 est la masse initiale du système et q le débit de masse. Tout cela par de l'équation :
v' + k/(m0-q*t)*v² = F/(m0-q*t)-g

On obtient l'équation linéaire du second ordre par la résolution de Riccati.

Bonjour,

Sans changement de variables ...
Sous la condition initiale v(0) = 0, on trouve :



A vérifier bien entendu.

Yes exactement, j'ai juste posé x =m0-qt pour que ça soit plus clair.
J'avais déjà trouvé ce résultat mais cela correspond à un cas sans gravité donc par exemple un véhicule qui roulerait sur une route strictement plate. Cela restreint un peu les possibilités donc.