Equation différentielle matricielle de type Y'=AY+B

[chnafon]

Bonjour,

Je suis confronté a cet exercice qui me pose des difficultés: exodiff

Le système se pose ainsi: A(t) = A(t=0) -x(t) - y(t)
x'(t) = *A(t)
y'(t) = *A(t)

soit le système { x'(t) = *A(t=0) - x(t) - y(t)}
{ y'(t) = *A(t=0) - x(t) - y(t)}

Qu'on peut mettre sous forme matricielle:
(E) Y' = AY+ B avec Y'= (x'(t), y'(t)), Y=(x(t), y(t)) et A la matrice 2X2= (;) )
(;) )
enfin B = (;)*A(t=0), *A(t=0))

J'avoue que je ne sais pas bien comment m'y prendre avec ce système différentiel. J'ai commencé par considérer l'équation matricielle sans second membre Y' = AY qui se résout assez bien en calculant l'exponentielle de matrice e(At) (en diagonalisant A, en remarquant bien que et toujours >0)
Mais que faire après? J'imagine que la solution de (E) est la somme de l'equation sans second membre et d'une solution particulière; et encore je 'en suis même pas sur; mais comment trouver cette solution particulière? Toute lumière est bienvenue.

[arnaud32]

quelle equadiff verifie z=x+y?

[chnafon]

Pas compris la question

[arnaud32]

tu poses z(t)=x(t)+y(t)
de ton systeme
x'(t) = ;)*A(t=0) - ;)x(t) - ;)y(t)
y'(t) = ;)*A(t=0) - ;)x(t) - ;)y(t)
tu deduis en sommant
x'(t)+y'(t) = (;)+;))*A(t=0) - (;)+;))( x(t) + y(t) )
donc
z'(t) = (;)+;))*A(t=0) - (;)+;))z(t)
sais tu resoudre cette equadiff?

[chan79]

Bonjour,

Je suis confronté a cet exercice qui me pose des difficultés: exodiff

.

Salut
soit a(t) la quantité de produit A restant au temps t
tu as
a(t)+x(t)+y(t)=A (égalité 1)
tu poses
x'(t)=k*a(t)
y'(t)=h*a(t)
En dérivant l'égalité 1
a'(t)+(k+h)a(t)=0
comme a(0)=a, on en déduit
Comme a(1)=a/2 on a:


et donc k+h=ln(2)
Au bout de 4h:



les 15/16 se sont bien décomposés

on intègre ensuite x'(t)=k*a(t) et y'(t)=h*a(t)