Equation différentielle, intégrales à variables séparables..

[Wenneguen]

Bonjour,

je veux résoudre .
Après m'être placé sur un intervalle telle que sin(y) ne s'annule pas, je peux écrire . Je suis alors tenté (après visualisation d'une correction d'un exercice similaire dans un livre) de me dire que je dois alors intégrer , mais j'avoue ne pas bien comprendre ce qui justification cela, pourriez-vous m'éclairer ? ( c'est le y' qui devient un dy que j'ai du mal à justifier)

Merci ! :we:

[JeanJ]

Bonjour,

je veux résoudre .
Après m'être placé sur un intervalle telle que sin(y) ne s'annule pas, je peux écrire . Je suis alors tenté (après visualisation d'une correction d'un exercice similaire dans un livre) de me dire que je dois alors intégrer , mais j'avoue ne pas bien comprendre ce qui justification cela, pourriez-vous m'éclairer ? ( c'est le y' qui devient un dy que j'ai du mal à justifier)

Merci ! :we:

[Doraki]

Puisque si une fonction y(x) vérifie l'équadiff on a dx = dy/sin(y), si tu trouves une primitive F(y) de dy/sin(y), alors tu as une relation du genre F(y)-x = c, où c est une constante.
Et donc tu obtiens y = F-1(x+c).

Réciproquement, si F est une fonction de ]0 ; pi[ dans R telle que F'(x) = 1/sin(x), alors elle est bijective,
et F-1 : R -> ]0 ; pi[ est une fonction qui vérifie l'équation différentielle :
(F-1)' = 1/F'°F-1 = sin ° F-1 donc elle vérifie bien y' = sin(y)

Et donc tu peux vérifier qu'on a pas fait n'importe quoi.