Salut,
Le potentiel harmonique est toutefois plus compliqué que le potentiel carré.
Quand j'ai résolu le potentiel harmonique dans mon cours de quantique, nous avions bien résolé l'équation de Schrödinger (états stationnaires) pour trouver les niveaux d'énergie. On peut d'abord adimensionner l'équation en posant
et poser
(juste pour faciliter l'équation finale après un peu comme avec le facteur d'amortissement pour l'oscillateur amorti ..).
La méthode "physique" que je connais consiste à regarder le comportement de l'équation différentielle pour x très très grand et à interpoler la solution à l'infini à la solution pour x quelconque avec une fonction inconnu.
Tu trouveras une nouvelle équation diff pour la fonction inconnu : l'équation d'Hermite. Et finalement tu pourras prouver que ta solution générale initiale tend vers 0 à l'infini (la fonction inconnue * la solution à l'infini) si et seulement si p est naturel et donc l'énergie est quantifiée. Tu pourras en déduire trivialement l'énergie minimale.