Equation différentielle à coefficients non constants

[ze zoune]

Bonjour à tous !

J'ai déjà posté un sujet concernant cet exercice, mais je suis toujours bloqué, cette fois pour la suite. Le voici:

On a pour tout la fonction f tq . On suppose que f convient.


[COLOR="blue"]1)[/COLOR] Il s'agit dans la 1ere question d'exprimer f(x) à l'aide de f' pour tout x strictement positif.
J'ai donc exprimé f à l'aide de la dérivée seconde, ce qui donne : , mais j'ai quelques doutes quant à ma compréhension de la question.

[COLOR="blue"]2)[/COLOR] Ensuite il faut montrer que f est solution de l'équa. diff. . Ici il n'y à qu'à remplacer y'' et y par f'' et f, ce que j'ai fait.

[COLOR="blue"]3)[/COLOR] Maintenant, voici la question qui m'a fait douter quant à ma première réponse:

Cette équation n'étant pas à coefficient constant, on ne peut pas appliquer le théorème. On pose , montrer que g est solution de l'équation différentielle:

J'ai donc essayé d'exprimer g''(t) ainsi que g'(t) puis de remplacer dans l'équation, mais sans succès.

Pourriez vous me dire si je me suis trompé quelque part, ou dans le cas contraire me débloquer pour cette dernière question ?

Merci beaucoup !

[girdav]

Bonjour,
pour la question 1 je crois qu'il est juste demandé d'écrire que pour tout .
Pour la question 3 on a puis et on obtient bien que est solution de l'équation différentielle annoncée.

[ze zoune]

Merci beaucoup, je vais regarder ça !
Une petite question pour la route concernant la question 1: on a , donc si je suis ton raisonnement, on a. Mais est ce qu'il ne s'agirait pas de la dérivée d'une composée de fonctions , avec , et si oui la dérivée de cette fonction n'est elle pas de la forme ?

[Pythales]

Pour 1) et 2) :
Si on dérive par rapport à la relation on obtient soit avec, en changeant en dans la formule initiale : soit finalement

[ze zoune]

Ok j'ai compris le principe, merci beaucoup !

J'ai un dernier problème pour un autre exercice, il s'agit de déterminer les fonctions réelles f dérivables en 0 tq:



Comme indication, on me propose de me poser la question de savoir ce que vaut nécessairement f en 0, et de me demander ce que je peux dire du taux d'accroissement.

J'ai commencé par étudier le cas où x=y=0, dans ce cas f(0)=0. Ensuite je pense qu'il s'agit d'une fonction faisant intervenir les fonctions ln et exp. Après je ne sais pas quoi faire. Une indication ?

Merci !

[Pythales]

En dérivant la relation par rapport à x, puis par rapport à y, on obtient soit
Conclusion ...

[ze zoune]

Je ne vois pas ce que tu veux dire par dériver par rapport à x puis par rapport à y.
Lorsque je dérive le relation, j'obtiens:

[Pythales]

Quand on dérive, c'est par rapport à une seule variable ...

[ze zoune]

Effectivement..
J'ai trouvé une solution (en bricolant un peu je vous l'accorde): .

Après il faut que je trouve le moyen d'associer le résultat des expressions trouvées précédemment et le résultat final.

[Pythales]

Ta solution ne vérifie pas


Le membre de gauche ne dépend que de , celui de droite ne dépend que de
Qu'en conclure ?

[ze zoune]

Le taux d'accroissement de la fonction est constant ? Il s'agit d'une droite dans ce cas.

[Pythales]

Il n'y a que le mot constant qui est pertinent dans ta réponse.

[ze zoune]

La fonction elle même serait constante dans ce cas ?

[Pythales]

C'est qui est constant ...

[ze zoune]

Suis-je bête !

On a donc avec k=cte.
Comme , on a , d'où .
Maintenant il s'agit de déterminer f'(t). Pour cela il faudrait étudier le taux d'accroissement de cette fonction. Ne serait-ce pas k ?

[Ben314]

Salut,
En procédant ainsi, vous allez trouver la bonne réponse, mais, mais, mais....
rien ne dit dans l'énoncé que f est dérivable ailleurs qu'en 0 (ni même continue) donc on ne peut pas trop dériver la relation dés le début.
J'ai un peu peur qu'il faille prendre x=y dans la relation pour trouver f(2x)=..., en déduire f(x/2)=..., f(x/4)=... puis, plus généralement f(x/2^n)=... {en fonction de f(x)} et, enfin, utiliser le fait que
[f(x/2^n]/[x/2^n] tend vers la constante k=f'(0) lorsque n->oo pour en déduire la forme de f(x)...

Sinon, concernant ton :

On a donc avec k=cte.

ben ça porte un "joli nom" : ça s'appelle une "équation différentielle"....
{et il y a aussi une erreur de signe : c'est ke^t+f'(t)}

[Pythales]

Bien vu Ben, je n'avais pas vu le "en 0" pour la dérivée.
On aboutit (heureusement) quand même au même résultat.

[ze zoune]

Merci de vos réponses, finalement je trouve avec et deux constantes.

[Pythales]

Non, et d'ailleurs tu vois bien que

[ze zoune]

J'ai cherché à résoudre:

J'ai donc l'ensemble des solutions de l'équation homogène S0={} avec .

En appliquant ensuite la méthode dite de la variation de la constante, je trouve: avec .

Finalement, l'ensemble des solutions est de la forme: S={}