Equation différentielle 2nd degrès

[Maths-ForumR]

Bonjour,
Voici l'equadif que je dois résoudre :

(K) : y''-2y'+5y= 2e^t cos²(t) .

J'ai fais la solution de l’équation homogène :
L’équation caractéristique = r²-2r+5=0
Donc ;) =-16 soit petit ;) = 2i ou -2i ainsi x1=(1+2i) et x2=(1-2i)
Ce qui me donne (K)o= ;)1e^x cos(2x) + ;)2 e^x sin(2x)
J'aimerai savoir si déjà cette réponse est juste ?


Après je suis bloquée pour la solution particulière, car on ne peut pas utiliser la décomposition de l'equadif car le résulta est un produit ...

Mais peut on dire que cos²(t)=[(1+ cos(2t)] / 2
Donc que 2e^t cos²(t) = 2.e^t . [(1+ cos(2t)] / 2 = e^t + cos(2t).e^t ?

Quelqu’un peut il m'aider ?



Merci d'avance

[Pythales]

Bonjour,
Voici l'equadif que je dois résoudre :

(K) : y''-2y'+5y= 2e^t cos²(t) .

J'ai fais la solution de l’équation homogène :
L’équation caractéristique = r²-2r+5=0
Donc =-16 soit petit = 2i ou -2i ainsi x1=(1+2i) et x2=(1-2i)
Ce qui me donne (K)o= 1e^x cos(2x) + 2 e^x sin(2x)
J'aimerai savoir si déjà cette réponse est juste ?


Après je suis bloquée pour la solution particulière, car on ne peut pas utiliser la décomposition de l'equadif car le résulta est un produit ...

Mais peut on dire que cos²(t)=[(1+ cos(2t)] / 2
Donc que 2e^t cos²(t) = 2.e^t . [(1+ cos(2t)] / 2 = e^t + cos(2t).e^t ?

Quelqu’un peut il m'aider ?



Merci d'avance

Oui, on peut. Le problème est que l'angle est encore 2t ...

Tu peux essayer la varietion des constantes.

[zaidoun]

Oui c'est juste.
.

Pour trouver la solution générale tu peux procéder comme tu as écrit, après en utilisant le principe de superposition.
Ou bien essayez d'utiliser la méthode variation de la constante.

[Maths-ForumR]

Très bien merci

Pour cos(2t).e^t peut on faire ça ? :

cos(2t) = Re(e^2it)
cos (2t).e^t = Re (e^2it.e^t)

Donc on peut transformer (K) : y''-2y'+5y= e^t[(2i+1)] ?

[Maths-ForumR]

Voici mes réponses :

1) y''-2y'+5y= e^t je trouve comme sol : 1/4 e^t

2) y''-2y'+5y= e^t[(2i+1)] je trouve : -1+(1/2) . cos (2t)

Donc une sol particulière est : 1/4 e^t + ( -1+(1/2) . cos (2t) )

Et la sol générale :
;)1e^t cos(2t) + ;)2 e^t sin(2t) + 1/4 e^t + (-1+(1/2) . cos (2t) )

Cela vous semble juste ?

[zygomatique]

salut

puisque exp' = exp j'aurais posé y(t)= z(t) exp(t)




alors



z" + 4z = 0 <== z = acos(2t) + bsin(2t)



solution particulière ::



et on peut appliquer le principe de superposition ....

pour 1 pas de problème : il suffit de prendre z = 1/4

pour cos(2t) : damned c'est déjà dans la solution homogène ....

.... mais on sait alors qu'on peut essayer une solution de la forme :

h(t) = tz(t) où z est la solution de l'équation homogène

....

[zygomatique]

voir http://www.ilemaths.net/forum-sujet-623028.html

[Ben314]

Voici mes réponses :

1) y''-2y'+5y= e^t je trouve comme sol : 1/4 e^t

2) y''-2y'+5y= e^t[(2i+1)] je trouve : -1+(1/2) . cos (2t)

Donc une sol particulière est : 1/4 e^t + ( -1+(1/2) . cos (2t) )

Et la sol générale :
1e^t cos(2t) + 2 e^t sin(2t) + 1/4 e^t + (-1+(1/2) . cos (2t) )

Cela vous semble juste ?

Non : ça ne me semble pas juste...
De trouver une solution particulière de ...=e^t ne donne pas d'information concernant une solution particulière de...=e^t.cos²(t)

Par contre, d'écrire le cos²(t) à l'aide de cos(2t), c'est pas con vu que ça fait apparaitre la solution générale de (E.H.)

[Maths-ForumR]

Zaidoun m'a dit que ma solution de l’équation homogène est juste :
(K)o= ;)1e^x cos(2x) + ;)2 e^x sin(2x)

Et après transformation du cos²(t) j’obtiens cette nouvelle équation a résoudre :
(K) : y''-2y'+5y= e^t + e^t[(2i+1)]

(K)o et (k) sont elles juste ?

[zygomatique]

oui c'est bon

tu peux appliquer le principe de superposition

pour e^t cherche une solution de la forme ke^t et détermine k (tu dois trouver 1/4 comme moi)

pour e^[t(2i + 1)] essaie une solution de la forme te^[t(2i + 1)] (comme je te l'ai indiqué)

....

[Maths-ForumR]

Ah très bien excusé moi je n'avais pas bien compris ..

Oui je trouve k= 1/4 car 1 n'est pas racine de (EC)

Pour e^[t(2i + 1)] je trouve :

2i+1/4i . t.e^(2i+1)t (si je multiplie par le conjugué donc -4i) je trouve :
[(2-i)/4].t.e^(2i+1)t

Et je voulais remplacer e^(2i+1)t par : [Cos(2t) + i Sin(2t)] . e^t

Ensuite il faut prendre la partie réelle de : [(2-i)/4] . Cos(2t) + i Sin(2t) . t . e^t
Donc je trouve : (1/2 cos(2t) + 1/4 Sin(2t)) . t . e^t

Mais ça me semble faux j'aimerai avoir une confirmation

[Maths-ForumR]

Je viens de remarquer une erreur qui me permet de trouver le bon résultat ! :)
Merci a tous bonne continuation .