Equation différenciel ordre 1

[kaolinoui]

Bonjours, j'ai du mal à réaliser cette exercice, je suis bloquer, je ne trouve quasiment jamais le même résultat à chaque fois. Voici l'énoncer:

Déterminer la fonction f, solution sur RR de l'équation différentielle :
y'=8y-9.
Vérifiant f(-7)= -7. On notera exp(x) ou e^x pour désigner l'exponentielle de x.

f(x)=

Merci d'avance à vous

[mathelot]

Bonjour, j'ai du mal à réaliser cet exercice, je suis bloqué, je ne trouve quasiment jamais le même résultat à chaque fois. Voici l'énoncé:

bonsoir,

[Black Jack]

Bonjour,

y'=8y-9

Solutions de y'- 8y = 0 : y = C.e^(8x)
Solution particulière de y'=8y-9 : y = 9/8

Solutions générales de y'=8y-9 : y = 9/8 + C.e^(8x)

f(x) = 9/8 + C.e^(8x) sont les solutions de y' = 8y - 9

Avec la condition que f(-7) = -7 --> -7 = 9/8 + C.e^-56

C = (-7 - 9/8)/e^-56 = -(65/8) . e^56

et alors f(x) = 9/8 - (65/8) . e^(56).e^(8x)

que l'on peut aussi écrire : f(x) = 9/8 - (65/8).e^(8x+56)

ou bien

[Black Jack]

Rebonjour,

Alternative de résolution (revient presque au même)

y'=8y-9.
y' - 8y + 9 = 0

Poser y = u.v
y' = uv' + u'v

L'équation devient : uv' + u'v - 8uv + 9 = 0
u(v'-8v) + u'v = -9

Cherchons une fonction v telle que v'-8v = 0
--> v(x) = e^(8x) convient

On a alors : u'.e^(8x) = -9
u' = -9.e^(-8x)
et en intégrant : u = (9/8)e^(-8x) + C

On a alors y = u*v = ((9/8)e^(-8x) + C) * e^(8x)

y = (9/8) + C.e^(8x)

f(x) = (9/8) + C.e^(8x) sont solutions de l'équation y'=8y-9.

et avec f(-7) = -7 --> -7 = 9/8 + C.e^(-56)
C = -(65/8).e^(56)

f(x) = (9/8) - (65/8)*e^(56+8x)

f(x) = (1/8) * (9 - 65.e^(8.(x+7)))