Equation des ondes.

[lisachatroux]

Bonjour,

J'ai un TD de maths auquel je n'ai pas pu assister sur l'équation des ondes, j'ai décidé de le faire par moi-même au lieu de demander la correction toute cuite pensant que ça m'aiderait pour mes examens et j'ai à peine lu l'énoncé qu'il y a quelque chose que je ne comprends pas.

http://www.noelshack.com/2022-17-4-1651 ... 232750.png
http://www.noelshack.com/2022-17-4-1651 ... 232925.png

On nous dit que la fonction est impaire donc normalement quand on utilise le théorême de Dirichlet les an sont nuls et la je vois ansinnx à la question deux alors que ça devrait être bnsinnx non ?

[phyelec]

Bonjour,
pour le deuxième exercice ,que vaut f(x) sur
sinon vous avez (sauf erreur de ma part :
sur

et

[lisachatroux]

Moi pour la question une j'ai ça :

https://zupimages.net/viewer.php?id=22/17/gqtn.jpg

Je ne sais pas si je dois utiliser le théorême de Dirichlet ou de Perseval puisque f(x) C0 et C1m

De toute façon, comme f(x) est impaire, je ne comprends pourquoi il y a des an dans l'expression de la série de Fourier car les an sont nuls quand f(x) impaire normalement ?

[phyelec]

pour moi votre fonction est plutôt une fonction triangle


http://www.mathematiques-lycee.com/cour ... solue.html

[phyelec]

ne tenez pas compte de mon message précédent,j'avais oublié que votre fonction est impair

[lisachatroux]

Ahd'accord

[phyelec]

Je suis ok avec votre graphique.
La fonction est périodique et continue par morceaux, elle est donc développable en série de Fourier et la série convergera en tout point vers si est continue en x et vers sinon (résultat établi par Dirichlet).

[phyelec]

autrement dit : La fonction est :
1)2π-périodique
2) bornée sur
3)continue sur
donc de classe C1 par morceaux sur R . D’après le théorème de DIRICHLET, la série de FOURIER de converge en tout réel x et a pour somme ( la série de Fourier de converge normalement sur R et a pour somme f)

[lisachatroux]

@phylec
Pourquoi utiliser le théôreme de Dirichlet et pas celui de Perseval puisque f(x) C1m mais aussi C0m ?

Et pourquoi y a-t-il des an dans l'expression de la série puisqu'ils sont nuls quand la fonction est impaire ?

[phyelec]

je ne connais pas la notation C1m,pourriez-vous me dire de quoi il s'agit.
les éléments que je vous ai fournis sont pour C1.

je crois que les an ,n'ont rien à voir avec ceux de la décomposition en série Fourier,il s'agit seulement de coefficient (le nom est mal choisi). Je suis d'accord avec vous les an de la décomposition en série de Fourier sont nuls.

[phyelec]

votre question : "Pourquoi utiliser le théôreme de Dirichlet et pas celui de Perseval"
Vous ne pouvez pas utiliser Parseval, si vous n'avez pas prouvé la convergence simple(donc Dirichlet).

[phyelec]

Pour votre exercice sur la corde vibrante,il faut que vous cherchiez une solution de la forme u(x,t)=f(x).g(x)

[lisachatroux]

C1m veut dire dérivable par morceaux.

Ah merci @phyelec je me disais aussi c'était bizarre les an
Du coup si je récapitule le théorême de Dirichlet prouve la convergence simple et celui de Perseval la convergence normale ? Mais il ne peut pas y avoir convergence normale sans convergence simple, c'est ça ?

[lisachatroux]

Alors pour la question j'ai fait ça : https://zupimages.net/viewer.php?id=22/18/alx9.jpg

Du coup je ne sais pas comment présenter les an et dire s'ils sont égaux à -1/k ou 2/(2k+1) ?

[phyelec]

pour votre calcul de bn,il y a une erreur :
rappel ; cos (n*0)=cos(0)=1 et non 0.
vous dites "Du coup si je récapitule le théorême de Dirichlet prouve la convergence simple et celui de Perseval la convergence normale ? Mais il ne peut pas y avoir convergence normale sans convergence simple, c'est ça ?" vous confondez pleins notions. Voici les divers type de convergence :

Convergence en norme quadratique(Parseval) :
Théorème de Parseval :f continue par morceaux, 2π-périodique ⇒ les sommes partielles (coefficients de Fourier) convergent vers f en norme quadratique (c'est dire que la formule de Parseval est vraie)
Convergence simple (Dirichlet)
f continue par morceaux, 2π-périodique (non nécessairement continue),assure la convergence ponctuelle de la série de Fourier vers la fonction f, sauf aux points de discontinuité
Convergence normale
f continue, C1 par morceaux et 2π-périodique ⇒ la série de Fourier converge normalement vers f

remarque : le "f" évoqué dans les types de convergence (ci-dessus) n'est pas le f de votre exercice,ce serait plutôt le

[lisachatroux]

"pour votre calcul de bn,il y a une erreur :
rappel ; cos (n*0)=cos(0)=1 et non 0."
Si on multiplie un par x sur n qu'il y a devant ça fait bien zéro car x doit être remplacé par zéro

merci pour les explications sur la convergence

[phyelec]

"Si on multiplie un par x sur n qu'il y a devant ça fait bien zéro car x doit être remplacé par zéro": vous avez raison , j'avais relu trop vite. Sorry

[lisachatroux]

Ce n'est pas grave @phyelec !

Du coup je ne sais pas comment présenter les an et dire s'ils sont égaux à -1/k ou 2/(2k+1) ?

[phyelec]

voici ce que je pense :





et donc peut s'écrire sous la forme :



pas besoin de faire la distinction entre pair et impair à ce stade de l'exo.

[lisachatroux]

Mais on me demande de donner les coefficients an à la question deux