équation dans R²

[liryck]

Bonjour, je cherche à déterminer et représenter l'ensemble des solution (x,y) dans
de l'équation:


J'ai penser à poser un repère polaire:


ce qui m'a donné:


Pour thêta fixé il s’agit de l'équation d'un cercle mais comme thêta n'est pas fixé, je n'arrive pas à conclure.
Pouvez vous m'aidez svp?

[capitaine nuggets]

Salut !

Essaie de te ramener à quelque chose de la forme avec et réels

[Ben314]

Salut,

Pour thêta fixé il s’agit de l'équation d'un cercle

Il faudrait peut être aussi réfléchir à ce que tu raconte : pour "décrire" un cercle, il faut effectivement que r reste constant, mais il faut bien évidement que thêta décrive un intervalle du style [0,2.pi] pour que le point "bouge".
Là, si tu "fixe" thêta,ben ça "fixe" r et lorsque thêta et r sont "fixés", ben y'a plus rien qui bouge et ce que ça "décrit", c'est évidement un et un unique point.
Bref, ton truc de "thêta fixé", tout ce que ça te dit, c'est que ta "courbe" est constituée... de points... ce qui, à mon avis, n'est pas d'un grand secours...

Sinon, as-tu vu la notion de forme quadratique et le fait que toute matrice symétrique est diagonalisable dans une b.o.n. ?

[liryck]

Bonjour Capitaine,
si je développe:

j’obtiens:

et là, à part poser a=y/2
et b =3/4
je ne comprends point.

[liryck]

Salut Ben effectivement j'ai vu les formes quadratiques et la méthode de Gauss donc ça pourrait servir ici je pense.
Sinon il me semble que l'équation du cercle centré en 0 est x²+y²=c, ou 'c' est une constante appartenant au réels.
Donc j'aurais plutôt tendance à dire qu'il faut fixer thêta et pas r. Même si j'ai bien compris que ça n'avais pas de sens de fixer thêta.

[Ben314]

Bis et répéta : si tu "fixe" n'importe lequel des deux (r ou theta), alors la formule définissant la courbe te donne l'autre et comme les deux sont fixés ça te donne un point "fixé" de la courbe donc quasiment aucune info.
Mais bon, d'u autre coté, j'ai l'impression que tu emploie ce terme de "fixer" un truc dans un sens qui n'est pas celui qu'on lui donne usuellement, c'est à dire que ça donne l'impression que la question que tu te pose serait plutôt de savoir s'il vaut mieux exprimer thêta en fonction de r ou le contraire.
Et la réponse, ben c'est que ni l'un ni l'autre ne vont t'aider à déterminer la nature de la courbe. Pas plus que d'essayer d'exprimer x en fonction de y ou le contraire.
Par contre, si tu as vu les forme quadratiques, ben tu doit savoir que q(x,y)= x²+xy+y², c'est justement une forme quadratique et que, comme toute forme quadratique qui se respecte, elle s'écrit où et est une matrice symétrique, donc diagonalisable dans une b.o.n.
Et c'est évidement dans cette base là qu'il faut que tu regarde comment s'exprime l'équation vu que ça sera là qu'elle s'écrit le plus simplement. Et en fait, en réfléchissant un peu tu n'a quasiment aucun calcul à faire (*) pour en déduire ce qu'est la courbe en question.

(*) Le déterminant et éventuellement la trace de A suffisent pour conclure.

[pascal16]

à vu de nez (enfin tracé sous Geogbra), c'est une ellipse tournée à -45°
Le changement de repère (ou de variable qui va bien) est une rotation de 45° sens horaire.
dans ce repère elle s'écrit (x/a)² + (y/b)²=1

[chan79]

Salut
L'équation est invariante si on permute x et y d'où une symétrie.
Tu devrais essayer de changer de repère

[liryck]

Bonsoir, par la décomposition de Gauss je trouve:


je choisie donc x' et y' pour obtenir une matrice diagonale:


J'en déduis la matrice de passe P de B à B':


La matrice de la forme quadratique dans la base canonique B est:


Par contre quand je calcule la matrice de q dans B' avec la formule suivante:

Je ne trouve pas une matrice diagonale, quelqu'un pourrait m'expliquer mon erreur svp?

[Ben314]

J'ai pas regardé plus loin, mais ta matrice M, ça ne risque pas d'être la matrice associée à une quelconque forme quadratique vu qu'elle est pas symétrique.
Ensuite, je sais pas si c'est malin de se placer comme tu le fait dans une base (presque) quelconque issue d'une des nombreuses façons d'écrire la forme quadratique sous "forme de Gauss" (i.e. avec des sommes de carrés) vu que je sais pas si tu sait repérer la nature géométrique d'une courbe dont tu a l'équation dans une base quelconque (i.e. non orthonormée).
Par exemple (juste pour voir), si je prend un repère quelconque (i.e. pas du tout orthonormée), sait tu ce qu'est la courbe d'équation X²+Y²=1 dans ce repère ?

[liryck]

Salut Ben, en effet il faut que la matrice soit symétrique.
Donc en résolvant:


je trouve :


J'applique la formule de changement de base:


Je trouve donc:


Dans la base B':


Il me semble que l'équation :

est l'équation d'une éllipse.
La base B est la base canonique:

Il y a pas mal de chance pour que ça reste une ellipse j'imagine.

[liryck]

sait tu ce qu'est la courbe d'équation X²+Y²=1 dans ce repère ?

Je dirai qu'il s'aggit d'une éllipse seulement si B' n'est pas normé mais je dis cela de façon intuitive.

[Ben314]

Effectivement c'est bien une ellipse.
Donc soit tu considère que c'est un résultat "connu" (mais vu que tu doute, je pense que c'est un peu gonflé comme "considération"...) soit tu le démontre sachant que la définition (calculatoire) communément admise d'une ellipse, c'est que c'est une courbe d'équation X²/a²+Y²/b²=1 dans un repère orthonormé.
Donc si on ne connait que la définition, il n'y a pas le choix, il faut obligatoirement utiliser un repère orthonormé pour démontrer que ta courbe est une ellipse.
Mais d'un autre coté, ce fameux repère orthonormé, tu sait qu'il existe vu que tu sait que toute matrice symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée.
Arrivé à ce point, tu peut effectivement chercher "pour de vrai" une telle base pour ta matrice M (ça te fait un petit exercice d'entrainement de diagonalisation) (*) ou bien uniquement raisonner en disant que tu sait (théorème) qu'une telle base existe (sans chercher explicitement lequel c'est) et tu regarde uniquement quelle va être la "forme" de l'équation de ta courbe dans ce fameux repère (c'est pas la peine de calculer explicitement le repère pour savoir quelle sera la matrice diagonale correspondant à M dans ce nouveau repère).

(*) Dans un cas aussi simple que celui là, tu peut aussi te fier au dessin pour voir que "le bon" repère c'est celui obtenu par rotation de 45° du repère de base et écrire directement l'équation obtenue dans ce repère là plutôt que de chercher à diagonaliser la matrice : après calcul, tu constatera que le repère que tu as choisi "à vue de nez" est effectivement un repère dans lequel A est diagonale et ça justifiera à posteriori le choix de repère que tu as fait (on a parfaitement le droit d'avoir... de l'intuition...)