Bis et répéta : si tu "fixe" n'importe lequel des deux (r ou theta), alors la formule définissant la courbe te donne l'autre et comme les deux sont fixés ça te donne un point "fixé" de la courbe donc quasiment aucune info.
Mais bon, d'u autre coté, j'ai l'impression que tu emploie ce terme de "fixer" un truc dans un sens qui n'est pas celui qu'on lui donne usuellement, c'est à dire que ça donne l'impression que la question que tu te pose serait plutôt de savoir s'il vaut mieux exprimer thêta en fonction de r ou le contraire.
Et la réponse, ben c'est que ni l'un ni l'autre ne vont t'aider à déterminer la nature de la courbe. Pas plus que d'essayer d'exprimer x en fonction de y ou le contraire.
Par contre, si tu as vu les forme quadratiques, ben tu doit savoir que q(x,y)= x²+xy+y², c'est justement une forme quadratique et que, comme toute forme quadratique qui se respecte, elle s'écrit
où
et
est une matrice symétrique, donc diagonalisable dans une b.o.n.
Et c'est évidement dans cette base là qu'il faut que tu regarde comment s'exprime l'équation
vu que ça sera là qu'elle s'écrit le plus simplement. Et en fait, en réfléchissant un peu tu n'a quasiment aucun calcul à faire (*) pour en déduire ce qu'est la courbe en question.
(*) Le déterminant et éventuellement la trace de A suffisent pour conclure.