Equation complexe d'une droite

[NicoTeen]

Bonjour a tous,

Je suis face a un ptit problème pas bien méchant mais qui me tue en ce moment
Je voudrais trouver l'équation complexe d'une droite à partir de deux points d'affixe respectif 1 et i

On pose D : ax+by=c équation de la dite droite complexe pour tout réels a,b,c et pour tout a,b non nuls, d'inconnus complexes (x,y)
On pose z=x+iy
Alors x=(z+z')/2 et y=(z-z')/2i
Je dis que z' = z barre, du moins le conjugué de z parce que la flemme d'écrire des équations avec des barres

Apres simplification de l'équation de la droite on a alors :
w'z + wz' = k avec w = a + ib et w' son conjugué et k=2c

Tout ceci n'est que du cours mais j'aimerais bien savoir comment a partir de mes deux points je peux trouver a, b et c ?!
Pour résoudre tout ca, je dois passer aux modules mais est-ce que |w'z + wz'| = |k| ??
Si oui, est ce que |w'z| + |wz'| = |k| ??

[Ben314]

Salut,
- Solution 1 : tu regarde les parties réelle/imaginaires des deux "points" (=complexes) connus qui sont (par définition) sur la droite, puis tu cherche une équation de la droite sous la forme ax+by+c=0 (chose que tu doit déjà savoir faire) puis là dedans, tu remplace le x par (z+z')/2 et le y par (z-z')/(2i) (et pas (z+z')/(2i))
Bref, tu fait... la même chose que ce que tu as vu en cours, mais dans un cas particulier.

- Solution 2 : tu dit que l'équation cherchée est de la forme w'z-wz'=k et tu écrit que cette équation doit être vérifiée par les deux "points" (=complexes) donné ce qui te donne deux équations dont les inconnues (i.e. les valeur que tu cherche) sont w (complexe) et k (réel).
Attention au fait que la même droite n'a pas une unique équation mais plusieurs équations (la droite d'équation x+y+1=0, c'est la même que celle d'équation 2x+2y+2=0) donc que le système en w,k que tu as à résoudre possède évidement plusieurs solutions. Mais on ne te demande que d'en donner UNE avec w non nul.

- Solution 3 : La droite passant par z0 et z1 (complexe distincts), elle est constituée des z tels que z=z0+t(z_1-z_0) avec t réel (pourquoi ?) donc c'est les z tels que (z-z0)/(z1-z0) soit réel, c'est à dire tels que (z-z0)/(z1-z0)+conjugué[(z-z0)/(z1-z0)]=0 que tu peut (éventuellement) simplifier/développer si ça te chante.

[Pythales]

Autre solution : tu dis que z est le barycentre de i et 1 affectés des coefficients 1 et t(réel) soit (1+t)z=i+t d'où ...

[Ben314]

Autre solution : tu dis que z est le barycentre de i et 1 affectés des coefficients 1 et t(réel) soit (1+t)z=i+t d'où ...

1) Si tu met sur un des deux points un poids qui ne s'annule jamais (par exemple 1) alors ton barycentre ne sera jamais égal à l'autre point.
Par exemple dans le cas présent, tu peut prendre ce que tu veut comme réel t, ta formule (1+t)z=i+t ne donnera jamais z=1 alors qu'évidement c'est un point de la droite.
2) Et d'un autre coté, si tu prend des poids dont la somme peut éventuellement faire 0, comme ici avec 1 et t dont la somme fait 0 lorsque t=-1, ben ça a pas de sens de parler du barycentre dans ce cas là.

Résumé : En prenant 1 et t comme coeffs., il te manque un point sur la droite et tu a une valeur de t qui ne donne pas de point... (étonnant non ?)

Bref, si tu veut pas être emmerdé ni dans un sens, ni dans l'autre, ben tu fait bêtement comme tout le monde, à savoir que tu prend comme coefficients 1-t et t, soit [(1-t)+t]z=(1-t)z0+tz1 c'est à dire.... z=z0+t(z1-z0).

[mathelot]

tu cherche une équation de la droite sous la forme ax+by+c=0 (chose que tu doit déjà savoir faire) puis là dedans, tu remplace le x par (z+z')/2 et le y par (z+z')/(2i)..

on remplace y par (z-z')/(2i)

[Ben314]

on remplace y par (z-z')/(2i)

Oui.... c'est mieux...
Je rectifie.

J'en profite pour poser une question : y'a pas moyen de barrer du texte dans les messages justement pour montrer qu'on s'est gouré et qu'on a ensuite rectifié ?

[Pythales]

Coordonnées barycentriques : correspond à

[Ben314]

Coordonnées barycentriques : correspond à

Non : z tend vers 1 lorsque t ->oo, mais on a jamais z=1.

[Pythales]

Ce que je veux dire, c'est que lorsque varie de à , on décrit toute la droite.
C'est le cas de (presque) toutes représentations paramétriques.

Mais on ne va pas pinailler

[Ben314]

Ce que je veux dire, c'est que lorsque varie de à , on décrit toute la droite.

Ben... non...
Lorsque t décrit R privé du réel -1, ton "point variable" décrit la droite privée du complexe 1.
Ou alors il faudrait accepter de prendre t égal à +oo, mais dans le cas où on accepte ce symbole (qui n'est pas un réel) dans les coefficients des barycentre, j'aimerais savoir comment tu définis (par exemple)