Equation complexe.

par **Deluxor** » 28 Oct 2011, 11:59

Bonjour!

On considère l'équation

2 est solution évidente.

Il faut résoudre l'équation en factorisant par identification le polynôme de degré 3 en produit d'un polynôme de degré 1 et d'un trinôme du second degré.

La factorisation :

sert-elle à quelque chose? :/

Merci de vos indications!

par **Maxwell-** » 28 Oct 2011, 13:15

Bonjour, si tu sais que 2 est racine évidente. Tu peux donc factoriser par z-2.

par **Deluxor** » 30 Oct 2011, 10:05

Maxwell- a écrit:Bonjour, si tu sais que 2 est racine évidente. Tu peux donc factoriser par z-2.

D'accord... Y a-t-il une technique? Car pour remplacer

en un produit dont un des facteurs est

, c'est pas évident. ^^

par **Black Jack** » 30 Oct 2011, 12:20

Deluxor a écrit:D'accord... Y a-t-il une technique? Car pour remplacer en un produit dont un des facteurs est , c'est pas évident. ^^

Sûr, il y a une technique.
La division euclidienne de 2 polynômes ...

Et, de toutes manières, il est toujours facile de faire apparaître le facteur (ici (z-2)) en manipulant le polynome de départ, il suffit d'ajouter et retrancher ce qu'il faut en commençant par les puissances élevées.

Je le fais car on n'enseigne pratiquement jamis cette méthode ... qui est pourtant sans la moindre difficulté.

z³ - z²(1+2i)+z(9i-1)-2(1+5i)

= z³-2z² - z²(-2+1+2i)+z(9i-1)-2(1+5i)
= z³-2z² - z²(-1+2i)+z(9i-1)-2(1+5i)
= z³-2z² - z²(-1+2i) + 2z.(-1 + 2i)+z(2 - 4i + 9i-1)-2(1+5i)
= z³-2z² - z²(-1+2i) + 2z.(-1 + 2i) + z(5i + 1)-2(1+5i)
= z³-2z² - z²(-1+2i) + 2z.(-1 + 2i) + z(5i + 1) - 2(5i+1) + 2(5i+1)-2(1+5i)
= z²(z-2) -(-1+2i).z.(z-2) + (z-2)(5i + 1) + 10i+2-2-10i
= z²(z-2) -(-1+2i).z.(z-2) + (z-2)(5i + 1)
= (z-2).(z² + z(1-2i) + (5i+1))

:zen:

par **Deluxor** » 30 Oct 2011, 13:05

Merci beaucoup Black Jack!
Je n'avais jamais vu cette technique, bien pratique ma foi... ! :)

par **Deluxor** » 31 Oct 2011, 11:25

On est donc amené à résoudre :

J'ai donc voulu dans un premier temps chercher les racines complexes de :

, mais les racines ne sont pas du tout avantageuses. Comment m'y prendre?

par **laya** » 31 Oct 2011, 11:36

La division euclidienne de deux polynômes n'est malheureusement pas enseignée au lycée. Dans ce cas, il faut chercher a, b et c tels que la factorisation soit

. Tu développes cette expression et tu identifies les coefficients, tu tombes sur un système dont la résolution fournira a, b et c.
Remarque : on peut réduire le nombre d'inconnues à 2, b et c, puisque a = 1 (le coefficient du terme de plus haut degré est 1).

par **Deluxor** » 31 Oct 2011, 11:50

laya a écrit:La division euclidienne de deux polynômes n'est malheureusement pas enseignée au lycée. Dans ce cas, il faut chercher a, b et c tels que la factorisation soit . Tu développes cette expression et tu identifies les coefficients, tu tombes sur un système dont la résolution fournira a, b et c.
Remarque : on peut réduire le nombre d'inconnues à 2, b et c, puisque a = 1 (le coefficient du terme de plus haut degré est 1).

Ceci est déjà fait, non ?

par **Black Jack** » 31 Oct 2011, 13:38

Deluxor a écrit:On est donc amené à résoudre :

J'ai donc voulu dans un premier temps chercher les racines complexes de : , mais les racines ne sont pas du tout avantageuses. Comment m'y prendre?

Delta = (1-2i)² - 4(1+5i) = 1 - 4 - 4i - 4 - 20i = -7 - 24i

Et (Delta)^1/2 = +/-(3 - 4i)

Cela devrait donner de "belles" solutions à

:zen:

Equation complexe.

Equation complexe.

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