équation avec une intégrale

[chombier]

Bonjour,

Voici l'exercice auquel je m'attelle :

[INDENT]Trouver toutes les fonctions continues, positives et définies sur R (à valeurs dans R) vérifiant


[/INDENT]



Voici ce que j'ai réussi à démontrer pout le moment :

• la fonction identiquement nulle est une solution triviale du problème
• 
• f est dérivable sur R
• 
• f est croissante sur R

Ensuite, Je suppose que f n'est pas identiquement nulle.

A partir de là, j'ai des pistes, une idée du résultat, mais je commence à patauger. Il faut d'abord voir à partir de quelle moment f devient non nulle.

Il existe forcément un réel x0>=0 tel que :
si xx0, f(x)>0

J'ai du mal à le démontrer correctement. Comment utiliser le fait que f s'annule et est croissante ? Faut-il définir un ensemble, chercher son sup/son inf ? Y a-t-il plus simple ? (HELP !)

Ensuite, j'utilise le fait que si , comme , .

J'aimerais beaucoup intégrer ça entre x0 et x, mais f s'annulant en x0, ce n'est pas une intégrale propre. Donc je ne suis pas sur du tout d'avoir le droit de faire ça. J'aimerais me passer des intégrales impropres si possibles. Bref, je fais comme de rien, et en sifflotant, je pose :











Je trouve donc comme solutions :
- la fonction identiquement nulle
- pour tout x0>0, la fonction définie par f(x)=0 si x<=x0, f(x)=(x-x0)^2 sinon

Mes deux problèmes sont donc :
- comment justifier l'existence de x0
- comment éviter cette intégrale impropre qui me pose beaucoup de soucis (je ne vais quand même pas intégrer entre x0+epsilon et x pour passer à la limite !)

Merci d'avance !!

[mathelot]

!!

et f(0)=0 .....................

[chombier]

et f(0)=0 .....................

J'ai supposé x>=x0 dans cette partie de mon raisonnement (et x0 > 0 par construction)

[Skullkid]

Salut,

- comment justifier l'existence de x0

Tu peux par exemple considérer l'ensemble des réels x tels que f(x) > 0 puis utiliser la propriété de la borne inférieure.

- comment éviter cette intégrale impropre qui me pose beaucoup de soucis (je ne vais quand même pas intégrer entre x0+epsilon et x pour passer à la limite !)

Pourquoi pas ? C'est pas de l'analyse si y a pas un epsilon qui traîne ! ^^

Si tu ne veux absolument pas voir d'epsilon, tu peux partir de l'intégrale qui est bien définie pour x > x0 et faire un changement de variable dessus. Mais ça a un peu l'air de sortir de nulle part, et il faut que tu aies vu l'intégration sur un intervalle quelconque.

[chombier]

Salut,



Tu peux par exemple considérer l'ensemble des réels x tels que f(x) > 0 puis utiliser la propriété de la borne inférieure.



Pourquoi pas ? C'est pas de l'analyse si y a pas un epsilon qui traîne ! ^^

Si tu ne veux absolument pas voir d'epsilon, tu peux partir de l'intégrale qui est bien définie pour x > x0 et faire un changement de variable dessus. Mais ça a un peu l'air de sortir de nulle part, et il faut que tu aies vu l'intégration sur un intervalle quelconque.

Bon, on va dire que je m'en suis peu près sorti, même s'il reste une ou deux zones d'ombres (dont la partie synthèse que je vous ai épargnée).

J'en ai un autre pas piqué, des hannetons, mais là j'ai plus de mal. Merci de me donner des PISTES et pas la réponse, je vous en serais gré !!!

[INDENT]Trouver toutes les fonctions continues sur R vérifiant pour tous réels x et y :
[/INDENT]

J'ai trouvé que f(0) = 0


Soit F est une primitive de f. F est paire donc f est impaire.

Voila voila... je cherche encore

[mathelot]

(1)

f(0)=0, ce que ne vérifie pas (1).

[chombier]

f(0)=0, ce que ne vérifie pas (1).

J'ai oublié de dire que x0 >= 0

Les solutions sont :
- la fonction identiquement nulle
- pour chaque x0>=0, les fonctions définies par f(x)=0 si x<=x0, f(x)=(x-x0)^2 sinon

[zygomatique]

salut

pour ton premier problème je ne comprends pas pourquoi f serait nul avant 0 ....

[chombier]

salut

pour ton premier problème je ne comprends pas pourquoi f serait nul avant 0 ....

si ,
(par positivité de racine de f)
or, f est positive, donc si f(x)<=0, f(x) = 0

Voila la tête de f, quand elle n'est pas identiquement nulle et que x0 = 1.3

[zygomatique]

à l'aide d'une intégration par partie ::





donc

or une somme de termes positifs est nulle si et seulement si ils sont tous nuls ....

[chombier]

à l'aide d'une intégration par partie ::

Sauf que


Sauf erreur de ma part bien entendu

[zygomatique]

et le 2 devant l'intégrale au départ ....

d'ailleurs je l'ai oublié aussi sur le premier terme !!!

[zygomatique]

à l'aide d'une intégration par partie ::





donc

:zen:

[chombier]

à l'aide d'une intégration par partie ::





donc

:zen:

Je ne sais pas ce qui ne va pas mais le résultat ne conviens pas :





De plus, f' est positive donc f est croissante.

En fait c'est juste une équa diff ce problème : f est positive, dérivable, et

[zygomatique]

attention ce que j'ai écrit n'est valable que pour x >= 0

car pour x =< 0 f(x) = 0

...

[chombier]

attention ce que j'ai écrit n'est valable que pour x >= 0

car pour x =< 0 f(x) = 0

...

Alors tu n'as pas toutes les solutions : la fonction définie par f(x)=0 si x<=3 et f(x)=(x-3)^2 convient aussi.

[zygomatique]

et



...

[chan79]

[quote="chombier"]Alors tu n'as pas toutes les solutions : la fonction définie par f(x)=0 si xa
Il faut ajouter la fonction identiquement nulle

[chombier]

OK avec ça
Pour chaque réel positif ou nul a, il y a la solution f:
f(x)=0 si xa
Il faut ajouter la fonction identiquement nulle

C'est ce que j'ai trouvé, et essayé de prouver,(voir premier post) sauf une ou deux zones d'ombre(que j'ai explicitées, je voulais être sur que je n'avais pas fait d'erreur et des éclaircissements sur ces zones d'ombre

[chan79]

C'est ce que j'ai trouvé, et essayé de prouver,(voir premier post) sauf une ou deux zones d'ombre(que j'ai explicitées, je voulais être sur que je n'avais pas fait d'erreur et des éclaircissements sur ces zones d'ombre

supposons f(a)=0



f étant continue, elle est nulle sur

Soit A l'ensemble des a tels que f(a)=0
Si A n'est pas borné, f est identiquement nulle
Si A est borné , sa borne supérieure vérifie
si on a

on peut écrire car f(x) est toujours strictement positif



comme f(a)=0 on a k=-a

donc si x>a

à vérifier ...