Equation avec le complexe j

[lm21000]

Bonjour,
Dans le cadre d'un exercice visant à déterminer l'ensemble des triplets (x,y,z) de réels vérifiant (x^3)+(y^3)+(z^3)=3xyz, je bloque sur la question suivante : en supposant que x+jy+(j^2)z=0, établir le plus rapidement possible que l'on a également x+(j^2)y+jz=0 , en sachant que j est un nombre complexe tel que j=exp(2iPI/3)

Par ailleurs , on sait grâce aux questions précédentes que :
- (x+y+z)(x+jy+(j^2)z)(x+(j^2)y+jz)=(x^3)+(y^3)+(z^3)-3xyz
- (j^3)=1
-1+j+(j^2)=0

Merci d'avance à celles et ceux qui pourraient m'apporter de l'aide, ou au moins une piste !

[pascal16]

x+jy+(j^2)z=0 élevé au cube ?

[lm21000]

Non non, tel que je l'ai écrit

[Ben314]

Salut,
Je sais pas si tu as fait de l'algèbre linéaire, mais si oui, ben c'est le moment de t'en servir.
La base usuelle qu'on prend sur C comme R-espace vectoriel, c'est évidement (1,i) (i.e. tout complexe s'écrit de façon unique sous la forme x+yi avec x et y réels).
Or (1,j) c'est aussi une base de C en temps que R espace vectoriel (pourquoi ?) et, vu que j^2=-(1+j), tu as les équivalences suivantes :
x+jy+(j^2)z=0 <=> x+jy-(1+j)z=0 <=> (x-z) +(y-z)j=0 <=> x-z=y-z=0 <=> x=y=z
et de même
x+(j^2)y+jz=0 <=> x-(1+j)y+jz=0 <=> (x-y)+(z-y)j=0 <=> x-y=z-y=0 <=> x=y=z

EDIT : et j'avais pas fait gaffe qu'il y a... encore plus rapide... : c'est quoi le conjugué de j ? de j^2 ?

[lm21000]

Merci de cette réponse, mais alors malheureusement non, je n'ai pas encore vu l'algèbre linéaire ..
Par contre, on a le conjugué de j qui est égal à j^2 ... J'ai pensé à cette piste mais j'avoue que je ne voyais pas trop où ça menait, je ne sais pas quoi faire après l'avoir remplacé dans l'équation

[lm21000]

Rebonjour, je me suis encore penché sur cette équation aujourd'hui, sans plus de résultat, même en utilisant le conjugué de j qui équivaut à j^2 ... Auriez-vous une indication qui pourrait me débloquer ? Merci d'avance

[infernaleur]

Ben ta donné la réponse, tu prend le conjugué de ton expression le résultat en découle.
(si tu connais le conjugué de j et de j² )

[lm21000]

Ah ! Si je dis que x+jy+(j^2)Z=0, le conjugué de cette expression est aussi égal à 0, or le conjugué de cette expression vaut (conjugué de x)+(conjugué de jy)+(conjugué de (j^2)z)=0 et en remplaçant (conjugué de jy) par (j^2)y et (conjugué de (j^2)z) par jz on obtient le résultat attendu !
Merci beaucoup ! Ce n'était effectivement pas très compliqué mais je n'y aurais pas pensé ^^

[infernaleur]

Ah ! Si je dis que x+jy+(j^2)Z=0, le conjugué de cette expression est aussi égal à 0, or le conjugué de cette expression vaut (conjugué de x)+(conjugué de jy)+(conjugué de (j^2)z)=0 et en remplaçant (conjugué de jy) par (j^2)y et (conjugué de (j^2)z) par jz on obtient le résultat attendu !
Merci beaucoup ! Ce n'était effectivement pas très compliqué mais je n'y aurais pas pensé ^^

Oui c'est vrai c'est une joli petite ruse ^^