Equation avec asymptote verticale ?

[pmfontaine]

Bonjour,
Je fait une étude sur la compression de poudre métallique.
Et je cherche l’équation Y = f(x) dans laquelle Y est la pression de compression qui varie de 0 à l’infini et x et la densité de la poudre qui varie de 3.10 à 7.52 dans mon exemple.
Les essais me donne les points suivants :
Y1 = 0 x1 = 3.10
Y2 = 400 x2 = 6.53
Y3 = 600 x3 =6.93
Y4 =800 x4 = 7.12
Y5 = 100 x5 = 7.21
Et je sais que pour obtenir x6 = 7.52 il me faut une pression infini, donc X =7.52 et l’asymptote verticale de mon équation.
Je voudrais trouver l’équation Y = f(x) correspondante à ces données. Pouvez-vous m’aider.
Merci

[maturin]

ben y en a une infinité de fonction qui passent par 5 points et qui ont une asymptote en 7.52.

T'aurais pas une idée de la forme de la fonction ?

Moi je te propose de chercher une équation de la forme P(x)/(x-7.52) avec P(x) polynome de degré 5.

[pmfontaine]

Re Bonjour, Merci pour ta réponse.
Je sais que la courbe est continue plus la densité augmente et plus la pression augmente. Peut être du type exponentiel ?

[maturin]

ben l'exponentielle n'a pas d'asymptote

elle s'annule en 3.1 donc tu dois avoir un terme du genre (x-3.1)^a
elle a une asymptote donc tu dois avoir un terme du genre 1/(7.52-x)^b


avec la formule j'arrive à un truc qui colle à peu près.

Mais ça colle pas exactement... Et y a aucune chance que ce soit la bonne formule. Enfin si tu cherches une formule expérimentale tu peux t'en servir et y ajouter qq termes correcteurs

[mathelot]

bonjour mathurin,
il y a une critique que l'on peut faire au fait que la courbe passe exactement pâr les cinq points, ça donne des contraintes extremement fortes qui occasionnent
des variations énormes au niveau des fonctions dérivées quatrième ou cinquième (phénomène de Runge-Kunta ?). Est ce qu'il ne faudrait pas plutot trouver des courbes plus douces où toutes les variations restent mesurées, quitte à ce que la courbe ne passe pas exactement par les points demandés ?

[BQss]

bonjour mathurin,
il y a une critique que l'on peut faire au fait que la courbe passe exactement pâr les cinq points, ça donne des contraintes extremement fortes qui occasionnent
des variations énormes au niveau des fonctions dérivées quatrième ou cinquième (phénomène de Runge-Kunta ?). Est ce qu'il ne faudrait pas plutot trouver des courbes plus douces où toutes les variations restent mesurées, quitte à ce que la courbe ne passe pas exactement par les points demandés ?

Oui je suis d'accord avec Mathelot, ce n'est pas la bonne methode que tu emploies pnfontaine.

D'abord tu choisis un modele de fonction
celui qui semble convenir a ta courbe.

Puis pour choisir laquelle tu minimises la somme des ecarts au carrés entre tes 5 données et la forme de la courbe que tu cherches. Tu va faire ce qu'on appelle une regression, pour 5 point en l'occurence(tu dois connaitre regression lineaire, qui est le terme attribué a une regression ou le modele recherché est une droite)

Autrement dit cherche le minimum de :


V(x)=somme_sur_a (f(a)-donnée_A(a))^2 . avec A(a)=pression et a=densité

Ta fonction modele aura 1,2,3, n parametres(choisit une famille de fonction continue et derivable, les parametres c'est les inconnus de la fonction modele).

Tu derives par rapport a chacun des parametres et tu cherches la solution du systeme(ou tu le fais resoudre par un programme):
dV/dxn=0 avec x1,x2,...,xn tes parametres. Ce systeme a autant d'inconnu que d'equation. Notes que si tu choisis comme modele une fonction a base de polynome ou rationnel donc en ax^n+bx^(n-1)+...+c/(Cx +D) avec C et D connu(supposon que eux tu les fixes). Et bien le systeme dV/dxn=0 est lineaire et vu qu'il y a autant d'equation que d'inconnu tu trouveras (si il y en a une) une unique solution et tu la trouveras tres facilement, vu qu'il s'agit juste de resoudre un systeme lineaire... Ce sera ton minimum.

Si tu choisi des le depart un polynome a 5 inconnu(de degré 4), c'est a dire autant que tu as de points, cette fois meme pas besoin de minimiser, tu resoud directement le systeme a 5 equation f(ai)=Ai a partir de tes données de depart(une sorte de polynome d'interpollé de Lagrange, sauf que la tu a un denominateur en plus, mais comme il est connu au final le probleme revient a trouver un polynome)

Tu t'assures de maniere generale si non que c'est bien un minimum(pas besoin de mathematiques tu verras bien si la fonction passe a coté de tes points c'est que c'est bon) et c'est les parametres de ta fonction experimentale i.e celle qui approche le mieux les données parmis le modele que tu cherches.






Donc dans la pratique, il n'y a pas de minimisation si tu ne choisis pas deja un modele.

*Edit: Essaie avec cette fonction :A(exp[a/(7,52-x)]-exp[a/4,42])
Pour trouver a et A applique la technique d'en haut, c'est a dire minimise la somme des differences au carré entre cette fonction au different point de l'etude et les valeurs que tu as réellement obtenue).
Tu peux aussi tout simplement tatonner a partir de cette equation en faisant varier a et A et voir ce que ca donne sur un graphe.
Elle sera tres proche de ton phenomene.
Ton phenomene est la composée d'une exponentielle(c'est la montée d'abord lente puis de plus en plus rapide) et d'une fonction rationnelle en b/a-x(c'est l'asymptote).

Le "exp[a/4,42]" permet juste de translater l'exponentielle en ordonnée de maniere a ce que ca s'annule bien en 3,1.

En tatonnant celle la marche pas mal:
1100(exp[0.35/(7,52-x)]-exp[0.35/4,42])

[BQss]

Bon j'ai trouvé une solution sympathique:

J'ai en fait tout simplement resolue a partir de la recherche de solution sous cette forme(c'est moins rigoureux que la minimisation mais bcp plus facile et puis c'est tres precis au final quand meme):

f(x)=A(exp[a/4,42]-exp[a/(7,52-x)])

(vu que il n'y a que deux inconnus)

le systeme suivant:

J'ai pris deux coordonnées que tu as a calculé:
Y2 = 400 x2 = 6.53
Y4 =800 x4 = 7.12

ET j'ai résolue le systeme:
f(6.53)=400
f(7.12)=800
avec ma fonction.

On trouve:
A =_environ 1250
a=_environ 0.5

Voila donc ta fonction
f(x)=1250(exp(0.5/(7.52-x))-exp(0.5/4.42))

[pmfontaine]

Bonjour,
Merci à tous pour votre aide.
Je confirme que la coube a trouvée ne doit pas forcément passer par les points, mais elle doit s'en raprocher au plus pré. (Les points sont expérimentales).
J'ai trouvé une solution correcte du type Y = c*(ax+b)(x-3.1)/(7.52-x).
Mais je vais étudier le proposition de BQss
A+

[jojboul]

Ue pis tu vérifie avec une RegLin nan?