Equation 3eme degré dans C

[Oknax]

Bonjour,

Depuis quelques jours je bloque sur la question 4 de l'exercice 4 ci dessous :



J'ai pas mal cherché en me représentant la notion de module, je me suis également dit que s'il y avait une solution réelle alors en considérant z = a+ib réel comme solution ce dernier serait forcément égal au module puisque la partie imaginaire est nul.
Mais sans succès.
J'ai beau retourner le problème dans tous les sens, rien à faire avec ce maudit module..

Pourriez vous m'indiquer une piste ? Merci de votre aide

[remullen2000]

Si z est solution alors 1/2z est solution et z barre aussi.



et donc



et donc

[Oknax]

Bonjour,

Merci beaucoup pour votre réponse :we:

Mais je ne comprends pas pourquoi z barre = 1/ racine 2 ?

[remullen2000]

il y a trois racines.

La première est réelle je l'appelle z0.

La seconde, qui est complexe par hypothèse je l'appelle z1.

D'après les questions d'avant, je sais que z1 barre est une racine, et comme z1 barre n'est pas réelle et n'est pas égale à z1, forcément c'est la troisième racine complexe. Appelons la z2. Donc les trois racines sont z0 z1 et z2.

Mais je sais aussi que 1/2z1 est une racine... qui n'est pas relle et pas égale à z1.
Donc cette racine est en fait égale à z2!

1/2z1 =z2=z1 barre !

[zygomatique]

tout est dit ici ::

http://www.ilemaths.net/sujet-theoreme-des-valeurs-664283.html

...

[remullen2000]

Ah oui et il faut connaitre l'égalité:

[Oknax]

D'accord, c'est plus clair maintenant ! Merci beaucoup, vous me sauvez de plusieurs jours de galère et d’incompréhension !

[aymanemaysae]

Je vais résoudre cette équation directement par factorisation (pour le plaisir):
On a : 4 z^3 + 2 a z^2 + V2 a z + V2 = 4(z^3 + V2/4) + 2 a z (z + 1/V2)
= 4(z^3 + (1/V2)^3) + 2 a z (z + 1/V2) = (z + 1/V2) (4 z^2 - 2V2 z + 2 + 2 a z)
= (z + 1/V2) (4 z^2 + 2 (a - V2) z + 2 ).
Pour 4 z^2 + 2 (a - V2) z + 2 on a delta = (a - V2)^2 - 8,
donc z1 = 1/4 (-a + V2 - V((a - V2)^2 - 8)) et z2 = 1/4 (-a + V2 + V((a - V2)^2 - 8)),
donc les trois racine de 4 z^3 + 2 a z^2 + V2 a z + V2 sont:
-1/v2 , 1/4 (-a + V2 - V((a - V2)^2 - 8)) et z2 = 1/4 (-a + V2 + V((a - V2)^2 - 8)) .
La nature de z1 et z2 dépend du signe de delta , donc de 'a' :
Si -V2 < a < 3v2 alors z1 et z2 sont complexes, sinon elles sont réelles.

[Carpate]

Je vais résoudre cette équation directement par factorisation (pour le plaisir):
On a : 4 z^3 + 2 a z^2 + V2 a z + V2 = 4(z^3 + V2/4) + 2 a z (z + 1/V2)
= 4(z^3 + (1/V2)^3) + 2 a z (z + 1/V2) = (z + 1/V2) (4 z^2 - 2V2 z + 2 + 2 a z)
= (z + 1/V2) (4 z^2 + 2 (a - V2) z + 2 ).
Pour 4 z^2 + 2 (a - V2) z + 2 on a delta = (a - V2)^2 - 8,
donc z1 = 1/4 (-a + V2 - V((a - V2)^2 - 8)) et z2 = 1/4 (-a + V2 + V((a - V2)^2 - 8)),
donc les trois racine de 4 z^3 + 2 a z^2 + V2 a z + V2 sont:
-1/v2 , 1/4 (-a + V2 - V((a - V2)^2 - 8)) et z2 = 1/4 (-a + V2 + V((a - V2)^2 - 8)) .
La nature de z1 et z2 dépend du signe de delta , donc de 'a' :
Si -V2 < a < 3v2 alors z1 et z2 sont complexes, sinon elles sont réelles.

On peut ne pas suivre tout à fait l'ordre des questions et calculer d'abord la racine réelle
Soient les 3 racines de
Les relations-coefficients-racines de l'équation du troisième degré permettent d'écrire

Appliqué à : soit

Ensuite division euclidienne de par pour obtenir l'équation du second degré et calculer ses racines : et

[aymanemaysae]

[Carpate]

Bravo, c'est vraiment complet !
Mais quand tu factorises par , c'est que tu sais que est la racine réelle ce qui découle de la réponse à la question précédente : montrer que les solutions de sont toutes de même module.
C'est fait pour et mais comment montres-tu, sans la calculer, que la racine réelle a aussi le même module ?

[aymanemaysae]

Vous avez raison: mon point de départ n'était pas de faire l'exercice, mais seulement de trouver les racines de l'équation du troisième. Quant à la voie que j'ai suivi pour trouver que z0 était -1/V2 : j'ai essayé de trouver une solution évidente en regroupant les termes en 'a', j'ai pris un z qui les annulait, et c'est par chance qu'il était le même que celui qui annulait le reste: si ce n'était pas le même, j'aurai tourné en rond pendant un bon bout de temps.
Je vous remercie, car avec vous et les autres on apprend beaucoup de choses sur ce site, et on s'ouvre d'autres horizons.