Equation du 2nd degres dans C

[Maths-ForumR]

Bonjour,
Voila mon exercice :

(E) : z² -2az + b = 0 on note z1 et z2 les racines complexes

1)A. Rappeler et démontrer les liens existants entre les quantités z1+z2 et z1z2

On suppose de module z1 = module z2
1)B.a) Écrire z1 et z2 sous forme expo, puis en déduire la forme expo de a²/b.
1)B.b) En déduire que la quantité a²/b est réelle et appartient a I =]0;1].
1)B.c) Montrer que si a²/b appartient a I alors module z1 = module z2.
On pourra montrer que le discriminant de (E) s'écrit sous la forme : - 4a² ;)² (avec ;) réel).
1)B.d) Donner une condition nécessaire et suffisante sur les coefficients a et b pour que module z1 = module z2.


1)A. Je sais que z1+z2=-b/a et z1z2=c/a mais comment le démontrer ?

[Ben314]

Salut,
Déjà une question, ton a et ton b ils sont réels ou bien on n'en sait rien ? (c'est pas con de donner un énoncé dans lequel toutes les lettres sont quantifiées)

Ensuite, ça m'étonnerais fort que z1z2=c/a vu qu'il n'y a pas de c dans ton énoncé...

Enfin, concernant ta question, si on développe (z-z1)(z-z2), ça donne quoi ?

[Maths-ForumR]

a et b désignent 2 complexes non nuls

Ah oui z1+z2=-b/a et z1z2=c/a c'est pour la formule formule (A): az² + bz + c = 0

Et (z-z1)(z-z2) = z² - zz1 -z1z +z1z2

[Ben314]

c'est plutôt (z-z1)(z-z2)=z²-(z1+z2)z+z1z2
Et vu que ce truc est sensé être égal à z²-2az+b, tu en déduit quoi ?

[Maths-ForumR]

On en déduit par identification que z1+z2 = 2a et z1z2 = b ?

[Ben314]

oui.

[Maths-ForumR]

Pour la 1)B.a) Écrire z1 et z2 sous forme expo, puis en déduire la forme expo de a²/b.

z1 et z2 on le même module ais un argument différent donc :
z1= r e^i;) et z2 = r e ^i;)
Je peux m’arrêter la ou il faut poursuivre ?

Pour a²/b
la²/bl = la²l/lbl et arg(a²/b)= 2arg(a) - arg(b)

Or (z1+z2)= r (e^i;) + e ^i;) ) = r e^i(;)+;))/2 (e^i(;)-;))/2 + e ^i(;)-;))/2 )
et (z1z2) = r e^i(;)+;))

Mais après je ne vois pas comment continuer suis je sur la bonne voie ?

[Ben314]

Pour la 1)B.a) Écrire z1 et z2 sous forme expo, puis en déduire la forme expo de a²/b.

z1 et z2 on le même module ais un argument différent donc :
z1= r e^i;) et z2 = r e ^i;)
Je peux m’arrêter la ou il faut poursuivre ?

Pour a²/b
la²/bl = la²l/lbl et arg(a²/b)= 2arg(a) - arg(b)

Or (z1+z2)= r (e^i;) + e ^i;) ) = r e^i(;)+;))/2 (e^i(;)-;))/2 + e ^i(;)-;))/2 )
et (z1z2) = r e^i(;)+;))

Mais après je ne vois pas comment continuer suis je sur la bonne voie ?

Plus ou moins : tu n'a nulle part utilisé le fait que 2a=z1+z2 et b=z1z2...

Au départ, concernant z1 et z2, on ne peut effectivement rien dire de plus (à part peut-être signaler que, si r=0, alors b=0 et que la division de a² par b n'est pas définie : petit "oubli" de l'énoncé)
Par contre, pour la suite, ce qu'on te demande, c'est le module et l'argument de

Et tu n'est pas forcément obligé de regarder les formes exponentielles de a et b vu que... ce n'est pas demandé par l'énoncé..., mais tes formules sont presque justes (il manque un carré au r de z1z2)
On peut un peu simplifier la première vu que e^i(;)-;))/2 + e ^i(;)-;))/2 = 2cos((;)-;))/2)
(c'est d'ailleurs pour ça qu'on factorise e ^i(;)+;))/2 )

[Maths-ForumR]

Ah très bien merci

Pour le module :
Donc la²l/lbl = lz1+z2l² / (4lz1l lz2l) = (2r)²/4r² = 1 ?
Ce qui confirme que z1 et z2 ont le même module

et

Pour l'argument :
arg(a²/b)= 2arg(a) - arg(b) donc
arg(a²/b)= 2arg(z1+z2/2) - arg(z1z2)
arg(a²/b)= 2x (?) - (;)+;))

Car
arg (a) = arg(z1+z2/2)
Or z1+z2/2 = r e^i[(;)+;))/2] x Cos [(;)-;))/2)]
Mais quel est l'argument de cette expression ?

et (z1z2) = r² e^i(;)+;)) donc arg (z1z2)= (;)+;))

[Ben314]

Et concernant les (et pas le) arguments, deux cas se présentent :
Soit et les arguments de sont les
Soit et les arguments de sont les (on fait "rentrer" le signe - dans l'exponentielle via )

Mais tu n'a pas besoin d'étudier ces deux cas vu que l'exo. ne te demande pas le module et les arguments de mais uniquement ceux de et le carré au numérateur va t'éviter de traiter les deux cas çi dessus.

[Maths-ForumR]

Donc

la²/bl = lz1+z2l² / (4lz1l lz2l) = [2r l cos(;)-;))/2) l ]² / [4 r²] ?

[Ben314]

oui, mais perso, j'aurais d'abord simplifié a²/b avant d'en chercher le module et les arguments.

[Maths-ForumR]

Pour les arguments j'ai un problème je trouve 0 :

arg(a²/b)= 2arg(a) - arg(b) donc
arg(a²/b)= 2arg(z1+z2/2) - arg(z1z2)
arg(a²/b)= 2arg [2r Cos(;)-;))/2 e^i(;)+;))/2] - arg [r² e^i(;)+;))]
arg(a²/b)= 2x[(;)+;))/2] - (;)+;)) = 0

Ce qui prouve bien pour la question :
1)B.b) En déduire que la quantité a²/b est réelle et appartient a I =]0;1].
Que Im(a²/b) = 0 donc (a²/b) = Réel mais reste a justifier l'intervalle non ?

[Maths-ForumR]

Je crois que j'ai oublié un facteur 4 pour l'argument de z1z2 ..

[Ben314]

et
Donc

Qui est un réel entre 0 et 1 donc d'argument 0 (+kpi) et de module lui même.

[Maths-ForumR]

Ah oui effectivement en simplifiant a²/b en amont c'est plus rapide et plus claire merci !

Ensuite pour :
1)B.c) Montrer que si a²/b appartient a I alors module z1 = module z2.
On pourra montrer que le discriminant de (E) s'écrit sous la forme : - 4a² ;)² (avec ;) réel).

J'ai calculé de discriminant et je trouve :
D=4a² - 4b
D=-4a² x (-1 + b/a²)
D= -4a² x (-a²+b/a²)

Et après je bloque,
Je dois exprimer (-a²+b/a²) sous la forme ;)² (avec ;) réel) pour retrouver la forme demandé.e.

[Ben314]

Faudrait peut être utiliser l'hypothèse qui dit que a²/b est un réel de ]0,1], non ?

[Maths-ForumR]

Si a²/b = réel alors a et b sont réels ?

[Ben314]

Surement pas : si tu choisi a complexe absolument quelconque puis que tu prend b=a² alors a²/b=1 est réel.

[Ben314]

Tu écrit que réel de ]0,1] donc (on écrit évidement en fonction de vu que dans le résultat demandé il y a du et pas de )
Donc où est un réel positif donc on peut poser (qui est un réel positif)