Equadiffs et fonctions oscillantes [SPE]

[Matthieu31]

Bonjour,

Je considère l'équation, pour t>0:
(1): y''(t) + f(t)*y(t)=0 où f est une fonction continue.
Je suppose que les solutions de (1) sont oscillantes et je note donc t1 et t2 deux zéros consécutifs de y solution de (1).
(On a donc: y(t1)=y(t2) d'ou y''(t1)=y''(t2)=0)

Je dois montrer que y' s'annule et change de signe sur [t1,t2].

Le théorème de Rolle donne directement que y' s'annule en c appartenant à ]t1,t2[; mais il me manque toujours quelque chose pour montrer que y' change de signe.

Il me faudrait par exemple que y'' est de signe constant, ce qui serait acquis si f(t) était de signe constant, mais cela ne fais pas partie de mes hypothèses.

Remarque: Si f(t) est de signe constant et jamais nulle, alors:
Si y'' s'annule en t tel que t1 < t < t2,
on a: f(t)*y(t)=0
d'ou: f(t)=0 (car t1 et t2 sont deux zéros consécutifs de y)
ce qui serais alors absurde et j'aurais répondu à la question.

Merci d'avance de m'aider à justifier correctement cette question qui parait pourtant si simple...

Cordialement,

[Matthieu31]

Merci bien pour l'astuce Angélique !
Entre temps j'ai aussi découvert que c'était possible avec de simple considérations sur la monotonie de la fonction (raisonnement par l'absurde et disjonctions des cas croissante ou décroissante).
Toujours sur le même énoncé, je m'aperçois qu'il-y-a un autre détail que je n'ai pas réglé:

Montrer qu'on ne peut avoir: y'(t1)=0.

Si ça peut servir, j'ai déja démontré que:
y' est oscillante
y'(t1) à le signe de y sur [t1;t2] (inégalité large obtenue en considérant le DL de y(t1+h) )
y'(t2) à le signe opposé de y'(t1)
y''(t1)=y''(t2)=0

Merci d'avance !

[Matthieu31]

Bonsoir,

y''(t3) n'implique pas y(t3)=0 car on peut avoir f(t3)=0, on sait seulement de f qu'elle est continue.

Aux erreurs de raisonnement près,

D'autres idées ? Ou rectificatif ?

[Purrace]

f(t) est continue sur [t1,t2] tu considere donc que ta fonction va de [t1,t2] dans [m,M].Raisonne par l'absurde et cherche une solution particuliere bien choisit à l'equation y''+my=0 qui te permet d'obtenir des contradictions sur le wronksien de y sol de ton ed de depart et y1 sol de cet ed.

[Matthieu31]

Merci bien Purrace, mais le wronskien ne fesant pas (encore ?) parti de mon bagage, je ne l'ai jamais utilisé et j'ai quelques mal à le faire ici.

Pour information, je me suis documenté sur wikipedia:
Wronskien sur wikipedia

Je pense à une solution particulière du type:
y1(t)=sin(sqrt(m)*(t-t1)), ainsi y1(t1)=0, mais je ne vois pas comment conclure...

Merci d'avance !

[Purrace]

Bien joué pour le decalage !!

Étudie par exemple je sais pas les variations du wronskien , sur ce type d'exo c'est souvent là qu'on trouve la contradiction!

[Matthieu31]

Merci bien, j'ai résolu le problème :++:

Pour information, il était également possible de répondre à l'aide du théorème Cauchy-Lipschitz:
Si y(t1)=y'(t1)=0 on montre que y est identiquement nulle !

[Matthieu31]

A vrai dire je viens de lire ça sur un corrigé, qui cite juste Cauchy-Lipschitz pour affirmer ça. Mais effectivement je n'ai pas réussi à montrer que l'équation vérifie les conditions d'application du théorème... f(t) est simplement continue, et non C1.

Quelqu'un pour apporter plus de précisions ?