Equa diff variation de la constante.

[Vlad-Drac]

Bonjour !

je bloc complet sur un exercice:

(x²+1)y' + (x-1)²y -(x^3 -x² +x +1) = 0
je comence par normaliser.
(x²+1)y' = -(x-1)²y + (x^3 -x² +x +1)
y' = -(x-1)²y/(x²+1) + (x^3 -x² +x +1)/(x²+1)
y' + (x-1)²y/(x²+1) = (x-1) + 2/(x²+1)

je resoud mon equation homogene associé
y' + (x-1)²y/(x²+1) = 0
S = K.exp( - integral de (x-1)²/(x²+1) )
S= K.exp( - integral de (x²-2x+1)/(x²+1) )
S= K.exp( - integral de 1 - 2x/(x²+1) )
S= K.exp( -(x - ln(x²+1) )
S= K.exp(-x)*(x²+1)

j'avais donc au depart une equation de la forme:
y'+ay=b (1)
j'ai resolu y'+ay=0
j'ai obtenu une solution de la forme y=Kexp(-A) (A primitve de a)
ce qui implique y' = K'exp(-A)+ -K.a.exp(-A)
d'ou en remplacant dans l'equation (1)
K'exp(-A)+ -K.a.exp(-A) + a*Kexp(-A) = b
donc K'exp(-A) = b

<=> K'=b*exp(A)
K = int(b*exp(A))

là je suis un peu perdu, la solution que je cherche est elle

[ int(b*exp(A)) ] * exp(-x)*(x²+1)

:mur:

[Vlad-Drac]

ha non ma solution general est :
[ int(b*exp(A)) ] * exp(-x)*(x²+1) (solution particuliere) + S


???

anyway les calculs sont atroces :(

[grikor]

Bonjour Vlad-Drac!

(x²+1)y' + (x-1)²y -(x^3 -x² +x +1) = 0 (A)

y1=x est une solution de l'équation (A)

je note y2=x-z; y'=1-z'......

je trouve (x²+1)z'-(x-1)z=0

Y=c1*y1+c2*y2

[grikor]

Bonjour Vlad-Drac!

(x²+1)y' + (x-1)²y -(x^3 -x² +x +1) = 0 (A)

y1=x est une solution de l'équation (A)

je note y2=x-z; y'=1-z'......

je trouve (x²+1)z'-(x-1)z=0

Y=c1*y1+c2*y2 :we:

[JeanJ]

Bonjour

Tu as trouvé S=K.exp(-x)*(x²+1) qui est solution de l'équation homogène.
Il s'agit ensuite de trouver une solution particulière de l'équation complète.
Avec un peu de flair, on vérifie que y=x est solution de
(x²+1)y' + (x-1)²y = (x^3 -x² +x +1)
Donc la solution générale est :
y = K.exp(-x)*(x²+1) + x
Alors c'est terminé.
Non, pas tout à fait, car on a court-circuité la recherche de solution particulière par la méthode de "variation de la constante" qui était sans doute le but de l'exercice.
Nous allons donc faire un travail inutile puisqu'on en a pas eu besoin pour voir la solution particulière y=x. Mais bon, soyons courageux. Reprenons :
Lorsqu'on a S=K.exp(-x).(x²+1), on remplace la constante par une fonction inconnue f(x)
et on cherche cette fonction y=f.exp(-x).(x²+1) telle que
(x²+1)y' + (x-1)²y = (x^3 -x² +x +1)
y' = exp(-x).(f '.(x²+1)-f.(x-1)²)
Le repport de y et y' dans l'équation, qui ce simplifie alors considérablement, conduit à :
f ' = exp(x).(x^3 -x²+x+1)/(x²+1)²
On intègre, ce qui n'est pas évident, semble-t-il. Mais, avec notre flair proverbial, on regarde si, par hasard, la dérivée de exp(x).x/(x²+1) ne redonne pas justement f '. Miracle, ça marche (c'est normal car le prof. n'aurait pas posé un problème trop difficile à ce niveau).
Donc : f = exp(x).x/(x²+1) +K
Ensuite : y=f.exp(-x).(x²+1) = [exp(x).x/(x²+1) + K].exp(-x).(x²+1)
y = x+K.exp(-x).(x²+1)
On est bien arrivé à la solution particulière y=x (pour K=0), mais ce n'étais pas la méthode la plus rapide. A n'utiliser que lorsqu'on n'arrive pas à faire autrement !

[Vlad-Drac]

nice one jeanJ ! et merci bcp