Equa Diff

[lol]

Bonjour à tous , voilà j'ai une équation diff à résoudre , je connais la solution , mais je suis curieux de voir quelle méthode vous utiliser ,
L'équation est : xy'+y=x^3
Merci.

[zorg]

Bonjour à tous , voilà j'ai une équation diff à résoudre , je connais la solution , mais je suis curieux de voir quelle méthode vous utiliser ,
L'équation est : xy'+y=x^3
Merci.

On résoud sur ]-infini,0[ ou ]0,+infini[. On divise alors par x:

y' + 1/x y = x^2 Equation différentielle linéaire du premier ordre tout à fait classique.

On cherche une solution particulière. Bon je dirais à vue de nez 3/4x^3 puis on cherche la solution générale de l'équation homogène associée. Et on additionne.

[lol]

Mais moi j'ai pas comme ça , d'abord j'ai trouvé la solution de l'équat homogène , et j'ai trouvé y=lambda x avec lambda=e^cte
et ensuite j'ai essayer de trouver y sous la forme de y=lambda(x)e^ln(x)
et j'ai trouvé lambda(x)=(x^4)/4
et donc y = (x^5)/4 +lambda*x
est-ce correct ?

[zorg]

La solution de l'éq. homogène serait plutôt lambda/x

Pour la solution particulière, inutile d'ultiliser la variation de la constante. On peut chercher une solution polynomiale sous la forme ax^3.

[cesar]

je prendrais plutot une solution particuliere de la forme y= k*x^3 (homogene de degre en x...cas classique...)
on trouve k=1/4...
et pour la solution de l'équation sans second membre
xy'+y=0 ---> y'/y=-1/x --> ln(y) = K1-ln(x)
soit y = K2/x
la solution general de xy'+y=x^3 est :

y = K/x + 1/4*x^3.....

[Zebulon]

Bonjour,
il faut ensuite l'étudier sur .
On trouve pour l'équation homogène: avec X=-x,
donc donc donc . Ensuite on trouve une solution particulière par la méthode de la variation de la constante...

[lol]

merci pour vos réponses , j'ai fait ça pour la solution de l'équation homogène , mais pour la solution particulière j'ai trouvé :
(x^5)/4 , mais c'est pas correct , j'ai vérifié avec l'equa mais je vais le refaire ...Merci , mais l'étudier sur ]-infini;0[ est-ce une obligation ???

[zorg]

Oui c'est une obligation. Il n' y a aucune raison que les solution sur ]-infini,0[ soient du même type que celles sur ]0,+infini[.

On peut aussi chercher les solution sur R. C'est le problème du raccord des solutions précédemment trouvées.

[Zebulon]

Bonjour,
pour le raccord des solutions (ce qui est intéressant) il faut se donner une solution sur ]-\infty,0] et chercher la solution sur [0,+\infty[ telle que celle-ci prolonge la première. On cherche donc k tel que la fonction soit continue en 0. C'est du bricolage en quelque sorte!

Soit Cx une solution sur ]-,0]. C'est une droite qui n'explose pas (ne tend pas vers l'infini) en 0. Les solutions sur [0,+[ n'ont pas de tangente verticale en 0.
On cherche donc k tel que en 0. Il n'y en a qu'une seule possible, indépendante de C:
.
Donc les solutions sur sont les fonctions:
.
On remarque qu'on ne pouvait pas étudier directement les fonctions sur car elles ne sont pas dérivables en 0.

[cesar]

On remarque qu'on ne pouvait pas étudier directement les fonctions sur car elles ne sont pas dérivables en 0.

L'équation est : xy'+y=x^3
definie en O ça ???? explique moi zeb, parce que là je seche : on doit pouvoir faire un prolongement par continuité (avec y=c*x, si y' est de la forme c/x^2, alors x*y' est de la forme c/x...), la seule definie en o c'est donc le cas c=0...soit y=(x^3)/4
en aucun cas, la fonction y=c*x n'est solution...

[Zebulon]

En 0 à gauche, la pente est C alors qu'à droite c'est 0. La seule solution continue est donc:
.

[cesar]

En 0 à gauche, la pente est C alors qu'à droite c'est 0. La seule solution continue est donc:
.

et y= (x^3)/4 ??? c'est bien continu en o et définie sur R tout entier...


cesar, coupeur de cheveux en quatre ....

[Zebulon]

Ah oui!
Il y a donc en plus cette solution sur . Mais alors, pourquoi ne la trouve-t-on pas sur ]-,0]?