Equa-Diff solution analytique ?

[jejedav]

Bonjour je voudrais savoir si il était possible de trouver une solution analytique pour ce genre d'équation différentielle ? Dans quel cas je suis ?

m(dv/dt) = mg + k(v-f(t))²
f(t) = exp(-t)

conditions initiales :
v[sub]0[/sub] = 0 m/s
y[sub]0[/sub] = 3000 m
t[sub]0[/sub] = 0 s

m = masse en kg
v = vitesse de la particule sur la composante y en m/s
t = temps en secondes
g = accélération m/s²
k = coefficient de frottement de l'air constant
f(t) = vélocité du vent en fonction de t
k(v-f(t)) = résistance de l'air appliqué sur la particule en prenant en compte la vélocité relative de la goutte par rapport à la vélocité du vent (ici une seule composante y il n'y a aucun vecteur).
exp(-t) = fonction exponentielle

constantes => k, m, g
variables => v, t

Sinon il y a un autre cas que je pense plus compliqué à résoudre analytiquement :

m(dv/dt) = mg + k(v-f(y))²
f(y) = exp(-y)

Ici la fonction f(y) retournes la vélocité du vent en fonction de la position y de la particule, au lieu de f(t) qui retournais la vélocité du vent en fonction du temps.

y = position y de la particule

constantes => k, m, g
variables => v, y

Cordialement.

[Black Jack]

Salut,

2 aspects dans la première question (je n'ai pas regardé l'autre)

1°) la résolution analytique de l'équation.
2°) MAIS pour commencer, voir si l'équation correspond bien à la situation physique.

Il faut évidemment commencer par le point 2.

Je présume que le mouvement est étudié iniquement sur une verticale (dà cause du terme m.g)
Mais alors, que penser de f(t) = e^-t qui est supposé représenter la vitesse du vent en fonction du temps en cours de la chute ?
... sauf que pour que ce soit crédible pour une chute verticale, il faudrait que f(t) soit la composante verticale de la vitesse du vent.
Il faudrait une vitesse du vent verticale égale à "1" en t = 0, cette vitesse verticale diminuant exponentiellement avec le temps.

Est-ce bien "physiquement" la situation ?

Il y a une autre bizarrerie dans l'équation.
Par le début de l'équation, soit m(dv/dt) = mg, on devine que l'axe du mouvement est vertical vers le bas (puisque g est vertical vers le bas).
... Mais alors la force de frottement aérodynamique doit s'opposer au mouvement (et comme conventionnellement on utilise un "k" positif), il y a une erreur de signe devant le terme k(v-f(t))²

Même si la question est posée sur un site de math ... IL FAUT commencer par écrire une équation qui représente Physiquement correctement le problème ... et je suis quasi sûr que ce n'est pas le cas.

Commencer par corriger les signes et utiliser une expression physiquement plausible pour f(x).

[jejedav]

J'ai fait mes vérifications pour les unités, le coefficient k est signé il retournes une valeur négative. J'ai laissé mg + k(v-f(t))² pour qu'on voit que c'est une somme de forces. Le vent en suite je choisi comment je le modélises ça peux être une harmonique, une fonction quelconque au final tant qu'elle reste simple, j'ai choisi une fonction exponentielle, et ma fonction exponentielle se comporte exactement comme vous le décrivez "Il faudrait une vitesse du vent verticale égale à "1" en t = 0, cette vitesse verticale diminuant exponentiellement avec le temps." Point important à prendre en compte je ne cherches pas à représenter un vent physiquement réaliste en prenant en compte la turbulence, les phénomènes d'advection.

[Black Jack]

Salut,

Soit, mais cela reste irréaliste du point de vue de f(t)

Sur une chute de 3000 m, hors frottement, la durée de chute serait environ de 25 s avec une vitesse à l'impact de 243 m/s

Autre cas, supposons une bille d'acier de 1 cm de rayon (sans vent), sa masse serait de 0,0327 kg et la valeur du k (chute dans l'air) serait environ 10^-4 (SI)
Avec une chute de 3000 m avec frottement aérodynamique , sauf erreur on trouverait une durée de chute de 57 s et une vitesse à l'impact de environ 56 m/s (vitesse limite stabilisée).

Si on introduit le f(t), on voit que après par exemple 5s, f(t) ne vaut déjà plus que 0,0067 à comparer avec la vitesse de chute avec frottement (mais sans le f(t)), qui après 5 s serait environ 40 m/s

Cela signifie que, dans des cas "pratiques", le f(t) indiqué n'a d'influence notable ni sur la durée de descente, ni sur la vitesse à l'impact.
*****
Soit cela dit, on peut toujours imaginer une autre relation pour le f(t), SAUF que ...

J'ai bien l'impression (mais je ne suis pas matheux) qu'on ne peut pas résoudre analytiquement l'équation différentielle en ne précisant pas l'expression de f(t) ... et même en la précisant, sauf cas particuliers, il y a de fortes chances que la résolution analytique sera impossible (par contre une résolution numérique est sans difficultés)

Parmi les cas particuliers pour lesquels on peut résoudre analytiquement l'équation, il y a f(x) = constante... mais ce n'est certainement pas ton but.

Même avec f(t) = e^-t, outre le fait que son effet sera quasi nul dans l'exemple donné, je doute qu'on puisse résoudre l'équation analytiquement ... mais là je laisse la main à un matheux pour infirmer ou confirmer.

[jejedav]

@Black Jack
Moi aussi cela me semble impossible à résoudre analytiquement tel que c'est présenté, et dans mon travail je cherche à avoir des équations analytique qui décrivent le mouvement des particules en fonction du vent. Je se suis pas concerné par les méthodes de résolution numérique qui peuvent exister (comme monte carlo, méthode des trapèzes, ...). J'ai le droit de faire des simplification/approximations, j'hésite à me rabattre sur du fitting de courbes, ou alors faire de l'analytique par morceaux mais l'idéal serait effectivement de trouver une solution analytique directement pour cette équation.

Ensuite effectivement l'action de f(t) est négligeable dans ce cas mais si je pouvais résoudre cette équation j'aurais pu définir dans f(t) en rajoutant quelques constantes une gaussienne de largeur, et amplitude qui me conviennent afin de représenter un vent plus long et plus fort sachant que je travailles sur des particules assez légères (des gouttes d'eau de 1mm de diamètre, je les considère pas déformables)

En tout cas si je peux avoir confirmation, ou infirmation c'est top. Et effectivement si vous voyez d'autres pistes à explorer n'hésitez pas.
f(t) exprime la vitesse du vent en m/s au cours du temps et cette fonction j'en fait un peu ce que je veux le but est d'avoir des variations de vitesse du vent, réaliste ou pas du point de vue du vent je cherche à savoir ce qui est possible ou pas de résoudre analytiquement. On peux même premièrement simplifier le problème de poser f(t) = t tout simplement. Ce qui nous ferait m dv/dt = mg + k(v-t)² et donc une equation sous la forme y" = (y'- t)²

La fonction définissant la vitesse du vent je l'ai mise en fonction du temps f(t) mais elle peux aussi être en fonction de la position y de la particule f(y) tel que je l'ai mis en seconde partie de l'énoncé. Il faut respecter juste ces deux contraintes, avoir un vent en fonction du temps ou en fonction de la position y de la particule.
Ce qui ferait m dv/dt = mg + k(v-y)² et donc une equation sous la forme y" = (y'- y)²


L'objectif au final est d'obtenir une forme close pour avoir le moins d'étapes de calculs possibles, je pourrais tout intégrer mais ca fait beaucoup d'étapes de calcul, pour chaque dt . Avec une forme close c'est pas compliqué le calcul se fait en 1 étape. Cela dit si il y a des solutions pour avoir des résultats seulement avec 2 ou voir 5 etapes constamment ça m'intéresse aussi.

Merci beaucoup Black Jack pour tes réponses

[aviateur]

Bonjour
L'équation différentielle (la première) est solvable analytiquement. Sauf que cela se fait avec des fonctions spéciales et l'expression obtenue est très compliquée.
Autant dire que c'est inexploitable mis à part que cela donne un tracé graphique.
De plus le calcul se fait un logiciel de calcul formel.

Maintenant du point de vue de la physique, à ma connaissance il n'est pas très usuel d'utiliser des constantes
qui soient négatives. Pourquoi ne pas écrire -k(v-f(t))^2 ?
Une question au passage, le vent est dans quel sens? C'est cohérent ton équation?

Maintenant tout dépend de ce que tu veux faire mais j'avoue avoir des difficultés à comprendre l'objectif final.
En particulier les 4 dernières lignes de ton message précédent, pour moi c'est complètement incompréhensible: "forme close" "je pourrai tout intégrer"...."calcul en 1 étape, en 5 étapes. "
Vu comme ça, je vois pas comment on peut t'aider d'avantage.

[jejedav]

Bonjour,

la vitesse du vent donné par f(t) peux être positive ou négative, mais tu avais déjà ta réponse en l’occurrence avec exp(-t) qui retournes une valeur positive donc dans le meme sens que v donc dans le sens de la chute (avec t partant de 0s à +infini). Mais en fait peu importe le sens du vent il me faut une force de vent qui varie d'une manière ou d'une autre je défini la fonction que je veux pour le vent. Que le sens du vent ailles vers le haut ou vers le bas ça reste quand même cohérent en soi

Par contre étant donné qu'il y a un carré dans (v-f(t))² il faudra traiter différemment le cas où v-f(t) > 0 et v-f(t) < 0

Ensuite les dernières lignes si je reformules et je contextualise, je suis en informatique et je pourrais faire une simulation physique par exemple avec la méthode d'euler pas à pas avec dt mais cela fait beaucoup d'étapes et donc trop de calcul pour l'ordinateur car j'ai un budget en nanosecondes limité pour ces opération je simules des milliards de particules donc c'est pour cela que je cherche des fonctions sous formes closes, peut être effectivement que j'ai un mauvais vocabulaire je ne suis pas mathématicien dans ce cas je voudrais avoir les mots exacts pour mieux communiquer.

Par exemple je sais que pour la chute d'une particule sans forces de vent mais avec prise en compte de la gravité et résistance de l'air il existe des solution analytiques sous la forme :

equation : mdv/dt = mg - kv²
solution : v(t) = equilibre . tanh(g/equilibre)

v qui est donc la vélocité de la particule, et équilibre la vélocité à l'équilibre lorsque les deux force gravité - résistance de l'air se compensent mg - kv² = 0

et c'est ce genre de solutions qui m'intéressent mais pour le cas où j'ai une vitesse de vent en plus dans l'equa diff donné par une fonction f et dépendant du temps pour introduire une variation temporelle du vent
equation : m dv/dt = mg - k(v-f(t))²
solution : ?

[aviateur]

Rebonjour
Je comprends mieux:
Alors ce que tu veux dire par "forme close" c'est une solution analytique et si j'ai bien compris une solution numérique ne te convient pas à cause du temps de calculs.
Effectivement si il n'y pas de force du vent on sait résoudre simplement cette équation non linéaire .
Dans avec f(t)=e^{-t} la solution analytique étant vraiment compliquée, c'est plus rapide de mettre en oeuvre une méthode numérique.
Une méthode numérique pour résoudre une équadif c'est tout de même rapide. Mais maintenant s'il faut un temps quasi-infinitésimal alors je ne vois pas de solution.