Equa diff second ordre mélangeant x et y.

[lisachatroux]

Bonjour,

Alors j'ai cette équation : x(carré)y''(x) + 4xy'(x) + 2y(x) = 0 que je n'avais jamais vu avant.

Pour la résoudre, notre professeur nous as dit d'injecter y(x) = x(exposant(lambda)) mais j'avoue que je ne vois pas en quoi ça va nous aider à la résoudre et d'où ça vient. J'aimerais bien comprendre ?

[mathelot]

Bonsoir Lisa,
on remarque que, pour x réel:
d'après (*)
d'où l'équation devient



d'où
pour x>0 et pour x<0 (pas nécessairement avec les mêmes constantes)

PS: (*) Soient u et v deux fonctions deux fois dérivables. Le produit uv est deux fois dérivable et
(uv)'=u'v+uv'
d'où
(uv)''=u''v+u'v'+u'v'+uv''
(uv)''=u''v+2u'v'+uv''

[phyelec]

Bonjour,

votre professeur , vous dit d'essayer ,
calculer y''(x),et y'(x) et remplacer dans l'équation, ensuite trouver la valeur de
Donner vos calculs pour y''(x),et y'(x) et ensuite pour quand vous aurez remplacé

[phyelec]

@mathelot,nos postes se sont croisés, je vous lais continuer avec lisachatroux. Cordialement Phyelec

[mathelot]

merci, phyelec.
d'après mon premier message, si on cherche des solutions en , on devrait trouver
ou

[phyelec]

@mathelot, c'est ce que j'ai trouvé.

[GaBuZoMeu]

Encore une fois, mathelot a fait tout l'exercice à la place de l'étudiant(e) !!!

[lisachatroux]

Faux @GaBuZoMeu mathelot n'a pas fat l'exercice à ma place puisque le voici : http://www.noelshack.com/2022-16-7-1650 ... 162309.jpg
(vos remarques sont désagréables et inutiles)

[lisachatroux]

@mathelot
J'aimerais savoir comment je dois présenter la forme générale des solutions ?
Le calcul que tu as fait c'est le calcul de la solution particulière ?
Pourquoi tu dis que (x(carré)y(x))''=0 au départ ?

[lisachatroux]

Et comment j'aurais du savoir qu'injecter xexpolambda allait m'aider à trouver la solution ?

[GaBuZoMeu]

lisachatroux, ce n'est pas à toi que le reproche s'adresse, mais à mathelot ! Il a bel et bien fait l'exercice à ta place, et je trouve que ce n'est pas une manière correcte d'aider.
Phyelec t'a aidé plus correctement, en te guidant et sans faire à ta place.

[phyelec]

vous vous interrogez "Et comment j'aurais du savoir qu'injecter xexpolambda allait m'aider à trouver la solution?" et "J'aimerais bien comprendre ?", moi aussi j'étais dans le questionnement quand j'ai étudié "comment fait-on pour savoir que c'est cela qu'il faut faire". Je vais tenter de vous apporter quelques éléments de réponse.

Beaucoup de phénomènes de physique, en mécanique et électricité par exemple, se ramènent à des équations différentielles dont il faut trouver les solutions. Les mathématiciens ont chercher des méthodes de résolution et donc cela a pris un certains temps , du travail et du talent . Newton , Leibniz,Cauchy ... des pointures ont mis en place des formalismes mathématiques très rigoureux dont nous utilisons les résultats.
Bien souvent comme ces équations font intervenir des dérivées, la connaissance de certaines fonctions et des leurs dérivées a aidé à mettre "au point" des méthodes de résolution.

Dans votre cas vous avez une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients non constants du type :



pour vous d(x)=0

Pour la recherche de solution,Il n'y a pas de méthode pour trouver dans tous les cas une solution particulière ou homogène. En général l'énoncé vous guide.
Pour moi les mathématiques restent une science expérimentale, à savoir on essaie des méthodes qu'on a dans notre "boîte à outils de résolutions de problèmes" .
Voici quelques axes pour essayer de résoudre ce type d'équation :
Si on recherche une solution sous forme polynomiale, on cherchera d'abord son degré.
On peut aussi faire faire un changement de variable ou un changement de fonction inconnue.
Enfin, on peut vous demander de rechercher une solution développable en série entière.

A savoir pour ce type d'équation différentielle l'ensemble des solutions de l'équation homogène a une structure d'espace vectoriel de dimension 2 .

l'intérêt d'avoir un espace vectoriel de dimension 2 est que la connaissance de 2 solutions non proportionnelles donne immédiatement l'ensemble des solutions.

Comme d'habitude La solution générale est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène..

[mathelot]

@mathelot
J'aimerais savoir comment je dois présenter la forme générale des solutions ?
Le calcul que tu as fait c'est le calcul de la solution particulière ?
Pourquoi tu dis que (x(carré)y(x))''=0 au départ ?

Il reste à démontrer que les deux applications sont lineairement indépendantes.

[GaBuZoMeu]

Si est une puissance de la dérivée de est une constante fois à la puissance 1 de moins, et à chaque fois qu'on dérive l'exposant baisse de 1.
Autrement dit : si alors (cette constante peut être nulle), et donc , précisément .
Si on a une équa diff linéaire du type , quand on injecte on récupère donc une équation polynomiale de degré en :

[lisachatroux]

Ok @GaBuZoMeu du coup merci de m'avoir expliqué pourquoi il fallait injecter x puissance lambda

merci @phyelec

@mathelot du coup c'est ce que tu as démontré plus haut ? On aurait obtenu quoi comme résultat si elles étaient
linéairement pas indépendantes ?

[mathelot]

@mathelot
J'aimerais savoir comment je dois présenter la forme générale des solutions ?

En injectant dans l'équation , on trouve
deux solutions particulières pour les valeurs de égales à -1 et -2.
L'équation homogène est linéaire et l'ensemble de ses solutions est un espace vectoriel
de dimension 2. C'est l'ensemble des solutions définies sur
et un autre espace vectoriel ,l,ensemble des solutions définies sur

Les deux applications de vers
et sont linéairement indépendantes (non proportionnelles)
Elles forment une base de l'espace des solutions.pour x>0, la solution générale s'écrit:
où A et B sont deux réels.

Le calcul que tu as fait c'est le calcul de la solution particulière ?

Non, c'est le calcul de la solution générale, mais avec à la base, une lecture
astucieuse de l'énoncé.

Pourquoi tu dis que (x(carré)y(x))''=0 au départ ?

Le membre de gauche de l'équation:
est la dérivée seconde de
Pour résoudre l'équation, il suffit d'intégrer deux fois le second membre de l'égalité.

On aurait obtenu quoi comme résultat si elles n'étaient pas
linéairement indépendantes ?

On aurait obtenu un espace des solutions (définies sur R+*) de dimension 1, ce qui n'est pas le cas.

[GaBuZoMeu]

Pour prolonger, une équadiff du 3e ordre qui se traite de la même façon :

et une un peu plus vache :

[GaBuZoMeu]

Un autre point de vue sur ce genre d'équadiff : on change de variable en écrivant , soit . On a alors :



et



L'équation devient alors une brave équadiff linéaire homogène du second ordre à coefficients constants :



dont l'équation caractéristique est . Bien sûr on a .
Ça peut aider à résoudre la deuxième équation donnée ci-dessus.

[mathelot]

et une un peu plus vache :

La solution générale est:
pour

[GaBuZoMeu]

Encore une fois, c'était plutôt à lisachatroux que la question était posée ...
Si tu utilisais \ln au lieu de ln, ta formule serait plus lisible.