Equa diff avec second membre trigonométrique

[lefouineur]

Bonjour à tous,

Je bloque sur l'équation suivante: y"+2y'+y=sin²(x)
Je vous présente ce que j'ai fait:

1) E.A.S.S.M. Ygs=(Alpha*x+Beta)*Exp(-x) Alpha et Beta sont des réels

2) Equation complète: le second membre est sin²(x)=1/2-(cos(2x))/2

d'oû Ypa=A*cos(2x)+B*sin(2x)
Y'pa=2B*cos(2x)-2A*sin(2x)
Y"pa=-4A*cos(2x)-4B*sin(2x) il vient:

-4A*cos(2x)-4*B*sin(2x)+2*[2B*cos(2x)-2Asin(2x)]+A*cos(2x)+B*sin(2x)=-1/2*cos(2x)
-4A*cos(2x)-4B*sin(2x)+4B*cos(2x)-4A*sin(2x)+A*cos(2x)+B*sin(2x)=-1/2*cos(2x)
-3A*cos(2x)+5B*sin(2x)+4B*cos(2x)-4A*sin(2x)=-1/2*cos(2x)

Il vient le système: -3A*cos(2x)+4B*cos(2x)=-1/2*cos(2x)
5B*sin(2x)-4A*sin(2x)=0
La résolution du système conduit à A=-5/2 et B=-2 ce qui est manifestement faux car le corrigé donne:

Y(x)=1/2+3/50*cos(2x)-2/25*sin(2x)+(Alpha*x+Beta)*Exp(-x)
Nota: j'ai volontairement écarté le terme 1/2 de Ypa qu'on retrouve dans Y(x)

Merci d'avance pour votre aide
Cordialement lefouineur

[mathelot]

Bonsoir,
Je trouve comme le corrigé. On peut additionner les solutions particulières,donc la 1ere solution particulière est 1/2.
On cherche ensuite une solution particulière de
y''+2y'+y=-1/2 cos(2x) sous la forme
y=A cos(2x)+B sin(2x) où A et B sont deux réels.

[mathelot]

C'est la 2eme ligne du système qui est fausse.tu dois avoir une erreur de signe.
Il s'agit de trouver
-3B-4A=0

La dérivée de cos(2x) est -2sin(2x) et la dérivée de sin(2x) est 2cos(2x)

[lefouineur]

Bonsoir mathelot et merci pour ta réponse rapide,

J'ai réussi à retrouver mon erreur de signe, c'est bien -3B-4A=0

Encore merci pour ton aide Cordialement lefouineur

[mathelot]

De rien,cordialement