Epigraphe

par **nico2b** » 16 Mai 2007, 18:00

Bonsoir, j'ai du mal à résoudre l'énoncé suivant :

On définit l'épigraphe de f comme étant l'ensemble

épi f := { (x,y)

: f(x)

y}.

Montrez que épi f est fermé.

Pour celà j'écrit dabord la définition de fermé donc

épif ,

épi f

Mais je n'arrive pas, à partir de cette définiton, à montrer que v apparitent à épi f.
J'ai aussi du mal à voir ce que signifie alors

épi f

Merci pour l'aide

par **yos** » 16 Mai 2007, 18:26

Il faut supposer f continue sinon ça doit pas marcher.
Auquel cas l'épigraphe est l'image réciproque du fermé

par l'application continue

.

par **nico2b** » 16 Mai 2007, 19:47

Et comment je peux m'en sortir?

par **yos** » 16 Mai 2007, 20:31

Ben c'est bon : l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue est un fermé.

par **nico2b** » 16 Mai 2007, 20:40

Pourrais-tu m'expliqué la notion d'image réciproque? pour être sur d'avoir bien compris

Merci pour l'aide...

Et sinon avec ma définition il y a un moyen de s'en sortir?

par **yos** » 16 Mai 2007, 20:45

nico2b a écrit:Pourrais-tu m'expliqué la notion d'image réciproque?

C'est dans ton cours.
Il vaut mieux qu'on essaie ta méthode : soit

une suite de points de épif qui converge vers un point (x,y) du plan. On a

, donc par prolongement des inégalités :

, mais f est continue, donc tu peux permuter f et lim

par **nico2b** » 19 Mai 2007, 14:26

Merci bcp j'ai compris :we:

par **nico2b** » 19 Mai 2007, 14:36

Il nous est ensuite demandé si l'ensemble épi f est-il compact? Justifiez

Comme on vient de prouver que épi f était fermé, il nous reste alors à prouver que cette ensemble est bornée pour montrer qu'il est compact.

En effet, cet ensemble est bien bornée : il suffit de prendre le max de épi f

Est-ce correct?

Merci

par **yos** » 19 Mai 2007, 14:54

Relis la définition de l'épigraphe d'une fonction f : c'est la partie du plan au-dessus de la courbe de f.

par **nico2b** » 19 Mai 2007, 15:13

Ok j'avais du mal à voir l'interprétation graphique . Dans ce cas là l'ensemble n'est pas compact alors...

Pour prouver non borné je nie la définition donc ça donne

épi f, ||(x,y)|| > C

Mon idée aurait été de prendre la norme infini ainsi on aurait eu le max{ |x|, |y|} en prenant une valeur x et y supérieur à C mais je tourne en rond...

car on ne sera pas dire si ,par exemple on donne la valeur C+1 à x et C à y, que ce point se trouve dans épi f ... J'espère m'avoir bien fait comprendre lol

Merci pour l'aide

par **yos** » 19 Mai 2007, 15:21

nico2b a écrit:
épi f, ||(x,y)|| > C

Oui c'est ça, inutile de changer de norme, la norme euclidienne convient très bien.

par **nico2b** » 19 Mai 2007, 15:36

Je bloque là dessus

Je n'arrive pas à trouver ce point tel que

> C.

Il faut le faire dépendre de C pour être sur qu'il lui soit supérieur?
Ce qui me bloque c'est de pouvoir affirmer que le point qu'on va prendre est bien dans épi f

Merci

par **yos** » 19 Mai 2007, 16:09

Il te faut deux points : prends le premier 1 mètre au dessus du point (0,f(0)) et un deuxième sur la même verticale mais 60 kilomètre au dessus du point (0,f(0)).
Bon tu peux le faire en année-lumière aussi.

par **nico2b** » 19 Mai 2007, 16:19

yos a écrit:Bon tu peux le faire en année-lumière aussi.

sa ira comme ça lol Je suis dur à comprendre je sais :marteau: mais c'était ce point de référence (0,f(0)) qui me bloquais.
J'ai compris le principe maintenant

Merci pour ton aide

par **yos** » 19 Mai 2007, 16:31

nico2b a écrit:sa ira comme ça lol Je suis dur à comprendre je sais

J'ai surtout voulu dire que pour faire un exercice comme ça, il faut se représenter les choses le plus concrètement possible.
Pour l'ironie, c'est la faute de mon clavier. Il serait temps que j'en change.

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