Epigraphe

[AceVentura]

Bonsoir,
je cherche à prouver que f est convexe si et seulement si son épigraphe est une partie convexe de .
()
Il faut prouver que si alors .
On muni donc d'un repère (quelconque ? orthonormal ? orthogonal ?) et on considère avec et .
Si , que vérifient les coordonnées d'un tel point et pourquoi ?
Merci par avance.

[Joker62]

Haileau !

On a f(a) <= b ; f(c) <= d par définition de l'épigraphe.
Si T(x,y) est sur le segment [MN]
On l'écrit T = Lambda*M + (1-Lambda)N
Donc x = Lambda*a + (1-Lambda)c
y = Lambda*b + (1-Lambda)*d

Maintenant il reste à montrer que f(x) <= y pour que T soit dans l'épigraphe.

[AceVentura]

T = Lambda*M + (1-Lambda)N

Cela signifie quoi cette écriture ?

[Doraki]

Si T est sur le segment NM, ça veut dire qu'il existe un réel lambda entre 0 et 1 tel que le vecteur NT = lambda * le vecteur NM.

Quelle est ta définition de "f est convexe" ?

[AceVentura]

Si T est sur le segment NM, ça veut dire qu'il existe un réel lambda entre 0 et 1 tel que le vecteur NT = lambda * le vecteur NM.

Pourquoi ?


Sinon pour la définition, f est convexe sur un intervalle I si ,

[Doraki]

Tu as quelque part la définition d'un segment ?

Si A et B sont deux points du plan,
la droite (AB) est l'ensemble des points C tels que le vecteur AC est colinéaire au vecteur AB.
C'est à dire l'ensemble des points C tels que AC = k * AB, avec k dans R.

si k=0, C=A.
si k=1, C=B.
Si k est entre 0 et 1, C est entre A et B, c'est à dire C est sur le segment AB.
Si k est négatif, ou plus grand que 1, C se retrouve à l'extérieur du segment.

[AceVentura]

Oui, j'ai noté . Maintenant, c'est vrai que vectoriellement, ce que tu as dit me semble logique ! Je ne sais pas ce qui est de rigueur.
Donc y'a plus qu'à passer aux coordonnées !

Mais pour la réciproque

[Doraki]

La réciproque est un peu plus simple que le sens direct.

[AceVentura]

Il faut que je détermine une équation de la droite (AB) ?

[Doraki]

Euh.. tu parlais de la réciproque de quoi ?
je pensais à la réciproque de f est convexe <=> l'épigraphe de f est convexe.

[AceVentura]

Oui, c'est bien celle-ci ! Le segment [AB] est inclus dans Epi(f), si A et B sont dans Epi(f). Il faut alors prouver que f est convexe. Je vais essayer de montrer que la courbe de la restriction de f à [a,b] est en-dessous de la droite [AB], non ?

[Doraki]

En-dessous du segment [AB] où A est le point (a,f(a)) et B est (b,f(b)) ?

[AceVentura]

Oui, c'est bien ça. Est-ce correct ? Il me semble que ça marche. Quel était ton idée ?

[AceVentura]

Qu'en penses-tu Doraki ?

[Doraki]

Oui il faut faire comme ça mais j'aimerais que tu détailles un peu le raisonnement.

[AceVentura]

Je ne suis pas certain de l'utilisation du fait que Epi(f) soit convexe : elle intervient dans le fait que si A et B sont dans Epi(f) (ici on a pris le cas particulier ou ces points étaient même sur la courbe de f) alors et donc tout point du segment est dans Epi(f).

Qu'en penses-tu ?

[Doraki]

Oui, comme les points A et B de coordonnées (a,f(a)) et (b,f(b)) sont dans Epi(f), qui est convexe, le segment [AB] y est aussi :
Donc pour tout t dans [0;1], le point de coordonnées (ta+(1-t)b, tf(a)+(1-t)f(b)) est dans Epi(f).
Donc pour tout t dans [0;1], f(ta+(1-t)b) <= tf(a)+(1-t)f(b).

[alavacommejetepousse]

Euh.. tu parlais de la réciproque de quoi ?
je pensais à la réciproque de f est convexe l'épigraphe de f est convexe.

bonjour
pour moi c'est la définition de convexe

[AceVentura]

définie sur est convexe lorsque . Après, chacun sa définition.