3 entiers en 1

[semaj_james]

En fait, non. Ce n'est pas exactement ça. C'est .

non c'est bien la formule de yos.
la formule: donne

X Y z

0 0 1
0 1 3
1 0 4
0 2 6
1 1 7
2 0 8
0 3 10
1 2 11
2 1 12
3 0 13
0 4 15
1 3 16
2 2 17
3 1 18
4 0 19
1 4 22
2 3 23
3 2 24
4 1 25
2 4 30
3 3 31
4 2 32
3 4 39
4 3 40
4 4 49

[Zebulon]

J'ai corrigé mon précédent message qui donne x et y en fonction de z.

[Imod]

Ces interventions avec toute leur complexité me rappellent l'éblouissement que j'ai eu quand j'ai découvert la théorie des cardinaux et ordinaux "les bijections existent" mais de là à les expliciter ... Q en bijection avec N !!!!
Un gros coup de chapeau à Cantor .

Imod

[Zebulon]

C'est bien une des grandes différences entre mathématiciens et informaticiens.

"les bijections existent"

c'est grâce aux mathématiciens qu'on le sait

mais de là à les expliciter

C'est le boulot des informaticiens !
Imod, je pensais que vous alliez confirmer (ou infirmer) ce que j'ai trouvé. Vous pouvez regarder quand même s'il vous plaît ?

[yos]

Ah tiens je croyais que ma formule donnait une bijection. C'est seulement injectif à ce que je vois.

[semaj_james]

J'ai corrigé mon précédent message qui donne x et y en fonction de z.

Je vais regarder tout ca. la je vais me coucher car demain le travail. Je te remercie d'avoir passer autant de temps a m'aider. merci beaucoup

[Zebulon]

Non, c'est bon. La première formule de Yos donne bien une bijection. Ici, ce n'est pas tout à fait la même car c'est , on a interverti les colonnes X et Y par rapport à la première formule de Yos.
Quand je l'ai trouvée, je ne m'attendais pas du tout à retomber sur ce résultat ! Vous la connaissiez avant ou vous l'avez trouvée spontanément ? Et dans ce cas, comment vous l'avez trouvée ?

[Zebulon]

Je vais regarder tout ca. la je vais me coucher car demain le travail. Je te remercie d'avoir passer autant de temps a m'aider. merci beaucoup

De rien. Moi aussi j'aimerais bien aller me coucher (demain, 9 heures de Maths... :cut: )

[alben]

Ah tiens je croyais que ma formule donnait une bijection. C'est seulement injectif à ce que je vois.

Non non c'est bien une bijection de N
Je l'inverse de manière un peu différente de Zebulon (ent=partie entière) :
et x=n-y
Bien sur, ça doit revenir au même mais c'est plus facile à programmer :we:

[Imod]

Désolé Zebulon , ça attendra demain , ces problèmes ne sont pas simples et à l'approche de minuit je ne suis plus que l'ombre de moi même .

Imod

[Zebulon]

Je l'inverse de manière un peu différente de Zebulon (ent=partie entière) :
et
Bien sur, ça doit revenir au même

Ca doit en revenir au même au niveau de la valeur de n, mais ici il s'agit d'un problème qui sera sûrement traité informatiquement, et donc votre façon d'inverser est plus efficace que calculer un max qui demande de faire des tests.

y=n-y

C'était y=n-x (toute petite coquille :happy: ). Corrigez-la, j'effacerai cette partie du message.

[Zebulon]

et x=n-y

Ca, c'est pour ce que j'ai appelé la première formule de Yos. Ici, c'est l'autre : z=truc + x et pas z=truc + y donc il faut intervertir x et y par rapport à votre formule pour être dans le cas de Semaj_james.

[alben]

Oui, j'ai du rater quelques épisodes
Mais une chose est certaine, c'est que si on fait un tableau avec les valeurs de x en colonne et y en ligne (ou l'inverse) et la valeur de la fonction de yos aux intersection, les diagonales / sont intéresssantes.
On visualise bien la construction de la bijection qui ressemble à celles que l'on fabrique pour mettre en bijection N² et N et démontrer que Q est dénombrable. On peut aussi faire un remplissage avec les carrés des nombres en diagonale \

[Zebulon]

Attention quand même, la formule de Yos donne une bijection de sur , mais elle n'est pas définie sur . En effet, quelle est l'image de 1 ? C'est Yos(1,1) ? Ou Yos(346422,346422) ?

[yos]

Attention quand même, la formule de Yos donne une bijection de sur , mais elle n'est pas définie sur . En effet, quelle est l'image de 1 ? C'est Yos(1,1) ? Ou Yos(346422,346422) ?

Je songe à réclamer des droits d'auteurs. Bien que je n'aie pas inventé cette formule évidemment.
J'ai cru un instant que ce n'était pas bijectif en voyant les tableaux de valeurs de semaj_james. Il faut plutôt faire un tableau à double entrée (x et y) et on voit que les entiers naturels se présentent dans l'ordre dans les diagonales du tableau.
Cet exo (classique) se trouve par exemple dans le livre de Luc Moisotte : 1850 exercices pour le Capes. Livre assez ancien, du temps où une épreuve orale du capes consistait en la résolution d'un exo sans préparation. Si vous voyez ce livre chez un bouquiniste, vous pouvez l'acheter les yeux fermés. C'est d'une richesse inouïe et surtout, délice suprème, les exos ne sont pas corrigés.

[Imod]

Une bonne nuit de sommeil et ce matin je me suis souvenu d'un exercice qui définissait très simplement et explicitement ( mais par récurrence ) une bijection de dans . Une petite fouille dans mes notes et voilà :
.

Une remarque , en posant et , on définit une bijection de dans .

Amusez-vous bien !

Imod

[jojboul]

Tient sa se rapporche pas du Grand Theorème de Fermat ce qu'il veut ?

[alben]

Bonsoir,

Pour inverser ta bijection, je propose
décomposition en fraction continue
puis passage en binaire
qu'il suffira de convertir en décimal.
:we:

[Imod]

Bonjour alben .

J'avais pensé à la même chose mais j'ai trouvé une démonstration vraiment élémentaire . Quelqu'un d'autre la trouvera ?

Imod

[alben]

Bonsoir Imod,
Démontrer quoi ? Que c'est une bijection ? l'injection me semble découler de la construction même de la fonction (à partir de considération d'ordre de grandeur) Pour la surjection, on peut construire une suite récurrente mais ça me semble équivalent au passage par les fractions rationnelles ou à Bezout :triste: