Entiers comme sommes de carrés (mpsi)

[Anonyme]

Bonjour,

j'aurais besoin d'un peu d'aide pour un travail que j'essaye de faire.
Mais s'ils vous plait ne me donnez pas de solution complète, juste des
indications ! merci ;)

Il s'agit d'un devoir sur les nombres pouvant s'écrire comme somme de
deux carrés, on a déjà montré que si p était un premier congru à 1
modulo 4 alors il pouvait s'écrire ainsi. Puis on doit montrer que plus
généralement si n est un entier, il peut s'écrire comme somme de deux
carrés ssi il contient dans sa décomposition en facteurs premiers des
premiers congru à 3 modulo 4 uniquement à un exposant pair. Je voudrais
donc montrer que si p est congru à 3 modulo 4, p^2 peut s'écrire comme
somme de deux carrés.

Par analogie avec le travail déjà mené dans la première partie du devoir
je me dis que je devrais peut-être montrer qu'il existe un x dans N tel
que p^2 divise x^2+1. Ca aussi semble être vrai sur les premiers
premiers que je teste. Mais je ne vois pas trop comment le démontrer ...
est ce une bonne approche de tenter de démontrer ce que je veux ? et si
oui, comment m'y prendre ?

merci d'avance

--
albert

[Anonyme]

albert junior a écrit :
> Bonjour,
>
> j'aurais besoin d'un peu d'aide pour un travail que j'essaye de faire. Mais
> s'ils vous plait ne me donnez pas de solution complète, juste des indications
> ! merci
>
> Il s'agit d'un devoir sur les nombres pouvant s'écrire comme somme de deux
> carrés, on a déjà montré que si p était un premier congru à 1 modulo 4 alors
> il pouvait s'écrire ainsi. Puis on doit montrer que plus généralement si n
> est un entier, il peut s'écrire comme somme de deux carrés ssi il contient
> dans sa décomposition en facteurs premiers des premiers congru à 3 modulo 4
> uniquement à un exposant pair. Je voudrais donc montrer que si p est congru à
> 3 modulo 4, p^2 peut s'écrire comme somme de deux carrés.
>
> Par analogie avec le travail déjà mené dans la première partie du devoir je
> me dis que je devrais peut-être montrer qu'il existe un x dans N tel que p^2
> divise x^2+1. Ca aussi semble être vrai sur les premiers premiers que je
> teste. Mais je ne vois pas trop comment le démontrer ... est ce une bonne
> approche de tenter de démontrer ce que je veux ? et si oui, comment m'y
> prendre ?
>
> merci d'avance

Hélas ça ne marche pas ainsi, c'est en fait beaucoup plus simple !
p^2 peut effectivement s'écrire sous forme d'une somme de deux carrés,
mais si p premier == 3 modulo 4, la seule façon de l'écrire est p^2 +
0^2 !

D'une certaine mesure cela répond à ce qu'on veut puisque cela prouve
que
si p=4k+3 premier => p^2 est une somme de deux carrés.
Et donc que la condition est suffisante : si tous les exposants des
facteurs
premiers 4k+3 sont pairs, alors N est somme de deux carrés.
(à formaliser avec la question précédente)

Le plus délicat est de montrer que la condition est nécessaire.
C'est à dire que si un facteur premier de la forme 4k+3 a un exposant
impair,
le nombre n'est *pas* somme de deux carrés.

La piste est le théorème suivant (à démontrer) :
Si N = a^2 + b^2 avec a et b premiers entre eux, tous les diviseurs
premiers
de N sont de la forme 4k+1.
(une démonstration par l'absurde en 5 lignes avec le petit théorème de
Fermat)

--
philippe
(chephip at free dot fr)

[Anonyme]

Philippe 92 a écrit:

> Hélas ça ne marche pas ainsi, c'est en fait beaucoup plus simple !
> p^2 peut effectivement s'écrire sous forme d'une somme de deux carrés,
> mais si p premier == 3 modulo 4, la seule façon de l'écrire est p^2 + 0^2 !

Bon ok, il va falloir que je revois mes algos alors !

>
> D'une certaine mesure cela répond à ce qu'on veut puisque cela prouve que
> si p=4k+3 premier => p^2 est une somme de deux carrés.
> Et donc que la condition est suffisante : si tous les exposants des facteurs
> premiers 4k+3 sont pairs, alors N est somme de deux carrés.
> (à formaliser avec la question précédente)

Mais bien sûr... je ne sais pas pourquoi je cherchais "somme de deux
carrés non nuls". Effectivement le fait que c'est suffisant devient
évident puisque le produit de deux nombres pouvant s'écrire comem somme
de deux carrés peut encore être écrit ainsi.

> Le plus délicat est de montrer que la condition est nécessaire.
> C'est à dire que si un facteur premier de la forme 4k+3 a un exposant
> impair,
> le nombre n'est *pas* somme de deux carrés.

oui

> La piste est le théorème suivant (à démontrer) :
> Si N = a^2 + b^2 avec a et b premiers entre eux, tous les diviseurs premiers
> de N sont de la forme 4k+1.
> (une démonstration par l'absurde en 5 lignes avec le petit théorème de
> Fermat)

Merci, je regarderai ca tout à l'heure.


--
albert