[Licence] Ensembles

[Anonyme]

Le Grand Schtroumpf a écrit
> Non, à cause de l'axiome de fondation.

C'est ce que je pensais mais cela ne saute pas aux yeux lorsque
l'on lit l'axiome de fondation. Voir l'article de Xavier Caruso
dans la FAQ http://boumbo.salle-s.org/xavier/maths/choix.html


--
Pierre
chez marcelle.paquier@mageos.com

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de
news:bkq642$qe6$1@tem.asynchrone.net...
> Le Grand Schtroumpf a écrit[color=green]
> > Non, à cause de l'axiome de fondation.
>
> C'est ce que je pensais mais cela ne saute pas aux yeux lorsque
> l'on lit l'axiome de fondation. Voir l'article de Xavier Caruso
> dans la FAQ http://boumbo.salle-s.org/xavier/maths/choix.html
>[/color]


Dans mon encyclopédie universalis (article de Girault) il me semblait
qu'il appelait ZF- le système ZF sans l'axiome de fondation.
J'ai la flemme de vérifier.
En tous cas dans la FAQ de Caruso, il y a cet axiome
dans sa présentation de ZF.
C'est quoi exactement qui te gene dans la FAQ ?
Au pire, tu peux tjrs reposter sur fr.sci.maths

>
> --
> Pierre
> chez marcelle.paquier@mageos.com
>
>
>

[Anonyme]

Le Grand Schtroumpf a écrit
> C'est quoi exactement qui te gene dans la FAQ ?

Ce qui me gêne, c'est juste que je ne vois pas comment
à partir de l'énoncé de l'axiome tel qu'il est formulé dans
l'article on en déduit qu'un ensemble n'est pas élément de
lui même.


--
Pierre
chez marcelle.paquier@mageos.com

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" , dans le message
(fr.education.entraide.maths:48038), a écrit :
> C'est ce que je pensais mais cela ne saute pas aux yeux lorsque
> l'on lit l'axiome de fondation. Voir l'article de Xavier Caruso
> dans la FAQ http://boumbo.salle-s.org/xavier/maths/choix.html

Je ne me rappelle plus bien ce que j'ai écrit dans ce truc, mais en
tout cas l'axiome de fondation a deux équivalents plus parlants que
sa formulation :

1) il n'existe pas de suite infinie
x_1 in x_2 in x_3 in ... in x_n in ...
(Donc, en particulier, il n'existe pas de x tel que x in x parce que
sinon on aurait x in x in x in ... in x in ...)
2) Si on pose V_0 = l'ensemble vide, et pour tout ordinal alpha
V_alpha = réunion des P(V_beta) sur les beta<alpha, P(E) désignant
l'ensemble des parties de E, alors tout ensemble est dans un des
V_alpha (et donc dans les suivants).

Moralement l'axiome de fondation dit que tout ensemble est bien bâti,
à partir de choses que l'on connaît bien et qui sont solides... et qui
est l'ensemble vide.

[Anonyme]

Dimitri Ara a écrit
> Une réponse simple : oui si tu décides que oui, et
> non si tu décides que non
>
> Dans _théorie des ensembles_, Krivine n'inclut pas
> l'axiome de fondation dans ZF. C'était également
> le cas lors du cours de logique que j'ai suivi en
> licence. Par contre, il me semble que dans le Cori
> et Lascar, il est inclus.

Si on ne l'inclut pas cela ne donne-t-il pas lieu à certains
paradoxes curieux ?


--
Pierre
chez marcelle.paquier@mageos.com

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de
news:bkri5f$rmf$1@tem.asynchrone.net...
> Dimitri Ara a écrit[color=green]
> > Une réponse simple : oui si tu décides que oui, et
> > non si tu décides que non
> >
> > Dans _théorie des ensembles_, Krivine n'inclut pas
> > l'axiome de fondation dans ZF. C'était également
> > le cas lors du cours de logique que j'ai suivi en
> > licence. Par contre, il me semble que dans le Cori
> > et Lascar, il est inclus.
>
> Si on ne l'inclut pas cela ne donne-t-il pas lieu à certains
> paradoxes curieux ?
>[/color]


Non, ZF reste consistant meme sans cette axiome.
Il existe meme un autre axiome, l'axiome d'antifondation
qui permet de prouver l'existence d'"hyperensemble"
qui peuvent se contenir eux-même et permettent
par exemple de coder de manière simple différentes
structure récursives comme des automates d'états fini, des listes.

[Anonyme]

"Le Grand Schtroumpf" , dans le message
(fr.education.entraide.maths:48053), a écrit :
> Non, ZF reste consistant meme sans cette axiome.

Evidemment . Ce n'est pas en enlevant des axiomes que l'on va ajouter
des contradictions...

Par contre, pour répondre à la question, effectivement, l'axiome de
fondation n'a pas trop de contenu intuitif ; il est juste là pouir
simplifier les choses, mais il est pénible de temps en temps. Je crois
d'ailleurs qu'il y a une construction qui permet de transformer un modèle
de Zf sans AF en un modèle de ZF avec AF en conservant quand même ses
propriétés sympas.

--
Xavier, qui pipote sûrement sur la fin.

[Anonyme]

Xavier Caruso a écrit
> 1) il n'existe pas de suite infinie
> x_1 in x_2 in x_3 in ... in x_n in ...
> (Donc, en particulier, il n'existe pas de x tel que x in x parce que
> sinon on aurait x in x in x in ... in x in ...)
> 2) Si on pose V_0 = l'ensemble vide, et pour tout ordinal alpha
> V_alpha = réunion des P(V_beta) sur les beta l'ensemble des parties de E, alors tout ensemble est dans un des
> V_alpha (et donc dans les suivants).

Merci, cette réponse m'éclaire tout à fait.

> Moralement l'axiome de fondation dit que tout ensemble est bien bâti,
> à partir de choses que l'on connaît bien et qui sont solides... et qui
> est l'ensemble vide.

J'ai déjà entendu dire dire cela, mais tout objet mathématique ne se
construit pas à partir de l'ensemble vide ? C'est à dire à parti de rien
finalement ? Par exemple comment créer l'anneau des matrices à partir de Ø ?

--
Pierre
chez marcelle.paquier@mageos.com

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" , dans le message
(fr.education.entraide.maths:48056), a écrit :
> J'ai déjà entendu dire dire cela, mais tout objet mathématique ne se
> construit pas à partir de l'ensemble vide ? C'est à dire à parti de rien
> finalement ?

Dans la theorie des ensembles classique (ZF), oui.

> Par exemple comment créer l'anneau des matrices à partir de Ø ?

Ben tu commences par les ordinaux, ce qui donne les entiers. Puis
comme je l'ai explique je crois dans l'article que tu as mentionne,
tu passes aux rationnels, puis aux reels. Finalement une matrice,
c'est juste un n^2-uplet de reels, donc c'est bon. Il faut encore les
operations, mais on s'en sort comme pour le reste.