Ensembles, minorant, majorant

[Kyrel]

Bonjour,
Informaticien de formation, je cherche depuis peu à me créer une culture mathématique solide, "pour le plaisir".
Actuellement, je planche sur un des ouvrages de Walter Rudin, "Principes d'Analyse Mathématique", très pédagogique. Son seul défaut est de ne pas proposer de correction aux exercices de fin de chapitre.

Bref, voici mon problème :
"Soit A un sous-ensemble non vide et majoré de R. On note -A l'ensemble des réels de la forme -x, x€A. Montrer que :
inf A = - sup(-A)"

Via la propriété de la borne supérieure, On sait que A admet une borne sup. On démontre assez facilement que -A admet une borne inférieur égale à - sup A, mais là n'est pas l'objectif.

Je pense qu'il faut commencer par montrer que A admet une borne inférieure. J'ai ainsi pensé à la propriété d'Archimède, énonçant que pour tout x, y € R, x >0, il exite n€N, tel que :
nx > y
et donc x > (1/n)y

Si x est est un élément de notre ensemble A, alors A est minoré, et la suite se fait tout seul.

Le truc, c'est que si on prend A = {x€R | x < 2}, on voit clairement que A n'est pas minoré (au pire, il admet une borne inférieure égale à -infini, selon la droite réelle achevée)...

Je suis un peu à court d'idées, et vous ? :p

J'attends avec impatience vos réponses.

[leon1789]

Dans R, tout ensemble non vide admet une borne inf et une borne sup.
Pas la peine de démontrer leurs existances (c'est la définition de R en quelque sorte...).

Quand on applique ,
-- un "plus grand que" devient un "plus petit que"
-- les minorants deviennent des majorants, et réciproquement.

On conclut avec cela que etc.

[Kyrel]

Merci pour ta réponse :)

Je suis tout de même interloqué : quelle est la borne inf de {x€R | x < 2} (par exemple) ?!

[digardel]

Dans R, tout ensemble MAJORE non vide admet une borne sup.
C est effectivement pour cela que IR a été construit

[leon1789]

Dans R, tout ensemble MAJORE non vide admet une borne sup.

oula oui...

[leon1789]

Je suis tout de même interloqué : quelle est la borne inf de {x€R | x < 2} (par exemple) ?!

tu as raison, au mieux on pourrait dire

[raito123]

Bonsoir,

Si on parle de l'inf(A) alors A doit être minoré, non ?

[abcd22]

Bonsoir,

On peut décider (par convention) que l'inf d’une partie non minorée de est ;) et que celui de l’ensemble vide est +;), et l’inverse avec la borne sup;); ça peut être utile pour écrire des propriétés utilisant les bornes sup et inf sans avoir à distinguer ces cas particuliers (mais il faut tout de même les distinguer dans les démonstrations de ces propriétés, le plus souvent en disant que ça marche dans ce cas-là);): par exemple dire que sans devoir préciser que l’intersection doit être non vide.
Bon ici il est plus probable que ce soit une erreur d’énoncé;): «;)Soit A un sous-ensemble non vide et minoré;)» et non «;)majoré;)».