Ensembles mesurables.

[lightone]

Bonjour, voici l'énoncé de mon exercice : Soit (oméga, B, u) un espace mesuré avec u(oméga) = 1. Soit également (fn) une suite de fonctions mesurables sur oméga, à valeurs réelles. On suppose que la suite (fn) converge simplement vers une fonction f. Dans toute la suite, on fixe epsilon > 0.

1) Soit k appartenant à N étoile. Pour n appartenant à N, on pose :
An = {x appartenant à oméga; pour tout p >=n : valeur absolue (fp(x) - f(x)) < 1/k}.

Justifier que les An sont mesurables.

Mon problème est que je ne sais pas ce que je dois montrer en fait...
Merci

[Ben314]

Salut,
A mon avis, ce que tu doit montrer, c'est que... tout les An sont mesurables...

Ensuite, si "tu ne sait pas ce qu'il faut montrer", ça peut aussi venir du fait que tu sait pas ce que veut dire qu'une partie de est mesurable ou bien qu'il y a d'autre expression de l'énoncé dont tu ne sais pas ce que ça veut dire.
Bref, la première chose à faire, c'est bien évidement de chercher les définitions de
- espace mesuré
- fonction mesurable
- convergence simple (mais c'est pas utile pour le moment)
- ensemble mesurable
Et avec ça plus epsilon (=petit théorème concernant les fonctions mesurables), tu as ta réponse.

[pascal16]

PS : n dépend de k
An est une partie de Ω où |fn-f|<1/k

je pense qu'on va ensuite te demander de prouver que An+1 ⊂ An
et que si la limite est d'intérieur non vide, en restreignant fn à la limite des Ap, tu as une convergence uniforme.

et derrière une réciproque ?

[Ben314]

PS : n dépend de k
An est une partie de Ω où |fn-f|<1/k

Je comprend pas ce que tu veut dire avec ton "n dépend de k".
Et An, de savoir uniquement que c'est UNE partie où |fn-f|<1/k, ça va pas suffire pour montrer que An est mesurable (vu que ça te donne juste une inclusion).

[lightone]

En fait, je ne sais pas ce que signifie qu'une partie est mesurable. Donc forcément, j'ai aucune idée de ce que je dois faire...

[Ben314]

Et un espace mesuré , tu sait ce que c'est ?
Si oui, ben ça veut dire que tu sait ce qu'est une "partie mesurable" : c'est simplement un élément de la tribu (*).
Si non, ben je vois pas bien ce que tu fait à te lancer dans un tel exo...

(*) Ou éventuellement un élément de la tribu complétée, mais on va pas rentrer dans les "finasseries"...

[lightone]

J'ai dit que An est l'image réciproque par fp-f de [0, 1/k]. Puisque fp-f est mesurable alors A est mesurable car l'image réciproque de tout intervalle est mesurable. Est ce bien cela?

[Ben314]

J'ai dit que An est l'image réciproque par fp-f de [0, 1/k]. Puisque fp-f est mesurable alors A est mesurable car l'image réciproque de tout intervalle est mesurable. Est ce bien cela?

Non : y'a (un peu) de l'idée, mais il manque un paquet de trucs :
- Déjà, c'est pas fp-f, mais |fp-f|.
- Vu que l'énoncé dit uniquement que les fp sont mesurables, il faudrait évidement expliquer pourquoi la fonction |fp-f| l'est aussi (si tant est que c'est vrai...)
- An c'est pas l'image réciproque de [0,1/k] par |fp-f| (si c'était ça, ben ça dépendrait pas de n mais uniquement de p et k)
Tu as fait quoi du "pour tout p>=n" qu'il y a dans la définition de An ? (poubelle ?)

[lightone]

- Ba vu que les fn sont mesurables, valeur absolue de fp-f est mesurable car c'est l'addition de 2 fonctions mesurables?
- Ah je ne sais pas par contre pour ça...

[Ben314]

- Ba vu que les fn sont mesurables, valeur absolue de fp-f est mesurable car c'est l'addition de 2 fonctions mesurables ?

Ha bon ?
Y'a marqué que f est mesurable dans l'énoncé ?

[lightone]

Ba non mais le f est forcément mesurable puisqu'il correspond à un fn quand n tend vers l'infini. Donc il fait partie aussi de (fn) pour moi.

[hdci]

Attention ! L'infini n'est pas un nombre ! Donc est une suite de fonctions, un terme pour chaque entier naturel , mais qui ne contient pas !

Voici un contre-exemple dans un autre cas : soit sur [0;1]. Toutes les sont continues.
Mais que dire de , limite simple des ? sur et , n'est donc pas continue.
C'est donc un contre-exemple où une suite de fonctions a une propriété, mais sa limite simple ne l'a pas...

Pour en revenir à et à : peut-on dire que la limite simple d'une suite de fonctions mesurables est mesurable ?

[Ben314]

Ba non mais le f est forcément mesurable puisqu'il correspond à un fn quand n tend vers l'infini. Donc il fait partie aussi de (fn) pour moi.

Et si je t'écrit la même chose avec par exemple "continue" à la place de "mesurable", c'est à dire (en supposant bien sûr que les fn sont continus) :
Ba non mais le f est forcément continue puisqu'il correspond à un fn quand n tend vers l'infini. Donc il fait partie aussi de (fn) pour moi.
Tu en pense quoi comme raisonnement ?

Et celui là (en supposant que tout les réels Un sont strictement positifs et que la suite Un tend vers L) :
Ba non mais le L est forcément strictement positif puisqu'il correspond à un Un quand n tend vers l'infini. Donc il fait partie aussi de (Un) pour moi.
Idem avec une suite de rationnels qui tend vers L : tu en déduit que L est rationnel ?

[lightone]

Dans ce cas, je ne vois pas comment faire

[hdci]

Recherche donc dans ton cours à quelle condition la limite simple d'une suite de fonctions mesurable est mesurable.

Tu dois avoir cela assez près des bornes supérieures, bornes inférieures, limite supérieure et limite inférieure.

[lightone]

J'ai un corollaire qui me dit que si (fn) est une suite de fonctions qui converge vers f alors f est mesurable. Sauf que ce fn va de oméga dans R barre.

[Ben314]

Ben p'têt bien que justement il faudrait se poser la question de savoir si, lorsqu'une suite (fn) de fonctions mesurable de dans converge vers une certaine fonction , est ce que forcément la fonction est mesurable ?

Et là où ça me "trou le cul", c'est de voir qu'on peut en être au point d'étudier les espaces mesurés alors qu'on à même pas compris que tout les truc du style "si tout les termes d'une suite sont XXX alors la limite est elle même XXX", ben y'en a des tonnes qui sont archi faux et que quand c'est vrai, c'est absolument jamais "une évidence", mais systématiquement un truc qu'on démontre (et c'est parfois assez difficile)

[lightone]

Oui ba écoutez, c'est une matière où l'on a pas de TD et les seuls exos que l'on a, sont des DM à rendre chaque semaine et qui sont notés. On fait ce que l'on peut pour essayer de résoudre nos exercices.

[hdci]

J'ai un corollaire qui me dit que si (fn) est une suite de fonctions qui converge vers f alors f est mesurable. Sauf que ce fn va de oméga dans R barre.

OK, donc ton cours te donne une piste.

Que peut-on dire de et de ?

Du coup, peut-on dire d'une fonction de est également une fonction de ?

Question subsidiaire : et si la fonction est de ?