Ensembles fermés, bornés

[nico2b]

Bonjour,

voici la question :
"En utilisant les définitions ci-dessus, dites si les ensembles suivants sont fermés et/ou bornés :"

Sachant qu'on nous a demandé la définition de fermé et borné...
Fermé :
Borné :

Le premier ensemble est A = {

Je pense que cet ensemble n'est pas fermé et est borné (inférieurement par zéro)...

Où je bloque c'est comment prouver que l'ensemble n'est pas fermé...
Je suppose qu'il "suffit" de nier la définition...

La négation est-elle bien

Dans ce cas là je prendrai x = 0. Ensuite je prendrai la suite () = () qui est A et qui converge vers 0 mais 0 A...

Est-ce que mon raisonnement est juste?

Merci d'avance...

[mathelot]

Fermé :

la définition est fausse car mal quantifiée.
Il faut que tu écrive une implication avec existence de la limite
puis dans un deuxième temps, tu quantifie l'implication tout entière
qui est valide quelque soit la suite.

:

[nico2b]

la définition est fausse car mal quantifiée.

Qu'entends-tu par mal quantifiée?


Est-ce meilleur ainsi? j'ai rajouté les parenthèse englobant tout ce qui se trouvait avant l'implication...

La définition nous a été donné ainsi...

MErci

[mathelot]

ça m'étonnerait que la définition ait été donnée ainsi.
Dans la prémisse de ton implication, tu écris qu'il existe une
suite. ça, ça veut dire pour une suite bien particulière.
En fait, F est fermé si l'implication est générale, ie, vérifiée
pour toute suite d'éléments de A.


Dans ta dernière écriture , la prémisse de ton implication SIGNIFIE QUE A
EST DENSE DANS . C'est de pire en pire.
Je ne sais comment tu vas coder les négations des propositions si tu ne codes pas convenablement les propositions.

[nico2b]

Dans la prémisse de ton implication, tu écris qu'il existe une
suite. ça, ça veut dire pour une suite bien particulière.
En fait, F est fermé si l'implication est générale, ie, vérifiée
pour toute suite d'éléments de A.

On nous avait dit que x, il fallait que x soit approchable par des points de l'ensemble et on avait alors traduit mathématiquement cela par :
à l'ensemble tel que la suite converge vers x...

[mathelot]

ça c'est la définition de A dense dans R, pas A fermé.
je t'écris les deux définitions correctes:

A dense dans R:
telle que:


A fermé dans R:

l'implication suivante est vraie:

[fahr451]

fermé :

toute limite d'une suite d éléments de A est dans A

c'est bel et bien ce que traduit la définition donnée par nico:

pour tout x , s 'il existe une suite ( xn ) d éléments de A qui converge vers A alors x est dans A

la seule remarque à faire est que (xn) est dans A ^ N

alors que (xn) C A n 'a aucun sens

d'autre part si A est une partie de R

x n'est pas dans R^N mais bien dans R

[mathelot]

Qu'entends-tu par mal quantifiée?


Est-ce meilleur ainsi? j'ai rajouté les parenthèse englobant tout ce qui se trouvait avant l'implication...

La définition nous a été donné ainsi...

MErci

Moi, je suis près à accepter cette définition d'un ensemble fermé.
On notera que le quantificateur existentiel a disparu
et que les parenthèses ne sont pas placées de la même façon. En
particulier, il n'y a qu'une parenthèse fermante avant l'implication.



Si vous écrivez un quantificateur existentiel dans l'implication,
la variable "suite de réels" n'est pas libre et elle ne peut plus être quantifiée
par en début d'énoncé.

si on écrit:

ça veut dire:


et c'est une tautologie. ça ne ressemble pas à ce que vous vouliez écrire,
parce que dans la proposition , il n'y a plus de variable à quantifier par .