Ensembles denses dans eux-mêmes

[seriousme]

Bonjour,

une question sur la densité d'un ensemble dans lui-même :
Est-ce que seuls les ensembles fermés (qui peuvent aussi être ouverts) peuvent être denses dans eux-mêmes ?

En effet un ensemble A est dense dans E ssi .
Donc A est dense dans A ssi .
Or un ensemble A est fermé ssi .
Donc A est dense dans lui-même ssi il est fermé.

Merci.

[kazeriahm]

oui... en même temps si A est un espace topologique, alors A est fermé (et ouvert)

[ffpower]

oui et non...Un ensemble A est dense dans lui meme si et seulement si A est fermé dans lui meme..Et ca c est vrai pour tout ensemble A.
Mettons un contexte:On a un ensemble X muni d une topologie,et A un sous ensemble de X.Si on veut regarder ce qui se passe topologiquement "dans A",ca revient a regarder la toplogie de X induite de A.Cette topologie est définie ainsi:un ensemble B inclu dans A est dit ouvert dans A(ou ouvert pour la topologie induite sur A),si on peut écrire B=U inter A,avec U un ouvert de X.De la meme maniere,B est fermé dans A si on a B=F inter A,avec F un fermé de A.
Comme en particulier,A=X inter A,on en déduit que A est fermé dans A,donc dense dans lui meme.Ainsi Q est dense dans Q par exemple(dans le sens ou tout rationnel est limite d une suite de rationnels XD)

Bon je sais pas si je suis tres clair,mais en tout cas dire que A est dense dans A,c est une tautologie^^

[seriousme]

Merci de votre explication.

Un ensemble A est dense dans lui meme si et seulement si A est fermé dans lui meme

En effet en se plaçant au niveau de A muni de la topologie induite par lui-même A est forcément fermé, ouvert, dense.

Mais si la topologie était bien celle de E et que la fermeture de A était supposée dans E cela donnerait :
Un ensemble A est dense dans E ssi .
Donc A est dense dans A ssi .
Or un ensemble A est fermé dans E ssi .
Donc A est dense dans lui-même ssi il est fermé dans E.

Est-ce que l'argument tient toujours ?
Ou bien écrire "A est dense dans A" suppose forcément que la topologie utilisée est celle induite par A, car l'étude de la densité d'un ensemble se fait forcément par rapport à un espace topologique et pas une partie d'un tel espace ?

Merci.

[seriousme]

En fait la définition de la densité précise bien que l'ensemble étudié est une partie d'un espace topologique donc en effet pour étudier la densité de A dans A il faut se placer comme vous l'avez fait dans un espace topologique idoine induit par A.

Et dans ce cas parler à la fois de densité de A dans A et de fermeture de A dans E n'a pas de sens car les deux n'utilisant pas le même espace topologique.

Donc en effet parler de densité d'un ensemble dans lui-même est une tautologie.

[seriousme]

Mais au fait, en quoi l'étude de la densité d'un sous-ensemble dans un ensemble nécessite elle la définition d'un espace topologique ?

En effet la densité d'un ensemble dans un autre est indépendante de la topologie choisie.
Contrairement par exemple à la compacité du sous-ensemble.