Ensembles dénombrables

par **minidiane** » 03 Oct 2007, 17:15

Bonjour je n'arrive pas à montrer qu'il existe une bijection de P(N)={A: A inclu dans N} sur {0,1}^N, et donc que P(N) n'est pas dénombrable.

Quelqu'un peut m'aider?

par **emdro** » 03 Oct 2007, 17:19

Bonjour,

Pour tout sous ensemble A de IN, il faut associer une suite de 0 ou de 1. C'est facile: tu n'as qu'à prendre Un=1 si n est dans A et 0 sinon (c'est la suite indicatrice de A). Tu démontreras sans peine que c'est une bijection.

par **minidiane** » 03 Oct 2007, 17:34

pour montrer que c'est une bijection tu montres que c'est injectif et surjectif ou tu le montre directement?

par **emdro** » 03 Oct 2007, 17:35

C'est quoi, directement?

par **minidiane** » 03 Oct 2007, 17:37

Ben je sais pas trop c'est genre:
si pour tout y dans lensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans lensemble de définition X tel que f(x) = y.

par **Joker62** » 03 Oct 2007, 17:40

Ben la meilleure façon c'est d'essayer ???

Mais il est préférable de faire une chose pour l'injectivité
Et une pour la surjectivité ;)

par **emdro** » 03 Oct 2007, 17:44

minidiane a écrit:Ben je sais pas trop c'est genre:
si pour tout y dans lensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans lensemble de définition X tel que f(x) = y.

il existe un c'est la surjectivité.
et un seul c'est l'injectivité.

Bien d'accord avec le sage Joker, chaque chose en son temps....

par **minidiane** » 03 Oct 2007, 17:58

ok
pour l'injectivité j'ai du mal je prend a1 et a2 appartenant à A
et j'ai donc ua1=ua2 implique a1=a2 c'est bien ça?
pour la surjectivité je suis complètement bloqué :hum:

par **minidiane** » 04 Oct 2007, 14:05

Quelqu'un peut m'aider pour la surjectivité?

par **Joker62** » 04 Oct 2007, 14:12

Soit u une suite dans {0;1} ^n

Alors u est de la forme

u = (0,1,1,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,...,...);

Posons alors A = {1;2;4;5;6;7;...}

On a clairement que u est l'image de A :^)

par **minidiane** » 04 Oct 2007, 14:36

ok merci et pour l'injection c'est correcte ce que j'ai fait?

par **Joker62** » 05 Oct 2007, 09:44

Malheuresement pour l'injectivité tu montres rien ...

Fait plutôt par contraposée.

Soit a1 a2 deux naturels distinct
Montre que u(a1) et u(a2) ne sont pas les mêmes.

par **minidiane** » 05 Oct 2007, 16:34

ok donc si j'ai bien compris on a a1 et a2 disctincts
alors a1 ou a2 appartient pas à A d'où ua1 différent de ua2
Mais en fait maintenant j'ai un doute car a1 et a2 peuvent tous les deux être distincts et appartenir à A :marteau:

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