Ensembles applications

[andalous]

salut voila j'ai une petite fiche d'exo mais y'en a ou j'ai vraiment du mal.



donc pour l'exo 1
j'arrive a montrer que E n'est pas injective mais pour la surjectivité je lutte. la question petit (4) je n'arrive pas a comprendre la différence des deux expressions.
Ensuite a l'exo 2 je trouve facilement un contre exmple pour le petit 2) et 3) et ensuite je pense que les deux autres ou du moins la premiere est vraie mais je n'arrive pas a le démontrer meme en posant x dans le premier ensemble et en essayant de prouver que x appartient au second et donc montrer l'inclusion.
ensuite l'exo 3 et 4 j'ai rien avancé donc j'aimerais un peu de votre aide merci d'avance

[andalous]

merci pour la surjectivité! pour lexo 4 je compren que l'identité c'est la seul application qui correspond mais je vois vraiment pas comment prouver

[Zebulon]

Bonsoir,
pour l'exercice 4, commençons par déterminer l'image de 0. donc . Supposons , alors f(0)>0. 0 peut-il être atteint par f ? La réponse est non (il faut le montrer bien sûr !) et on trouve une contradiction car f est surjective.
On raisonne par récurrence.

[andalous]

je vois le raisonnement je vais voir ce que ca donne merci beaucoup

[andalous]

c'est bon j'ai bien compris pour la premiere partie de l'exo 4 mais la seconde j'ai du mal

[andalous]

il me reste plus que la deuxieme partie de l'exo 4 une petite aide ne serait pas de refu merci

[Zebulon]

Il faut regarder f restreinte à {0,1,...,k-1} qui est une bijection quelconque sur {f(0),...f(k-1)} et f restreinte à qui est une bijection strictement croissante sur .
Je pense que le plus simple pour voir ce qui se passe est de représenter une telle f : on trace une droite verticale graduée de 0 à 10 à gauche, la même à droite, et on représente f par des flèches reliant les entiers de la droite de gauche aux entiers de la droite de droite. On fait n'importe quelles flèches (de manière injective quand même) pour les k premières valeurs (par exemple les 3 premières, de 0 à 2) en noir et puis une bijection strictement croissante à partir de k en rouge. f strictement croissante impose que deux flèches rouges ne peuvent se croiser. Les premières flèches rouges doivent combler les "trous" laissés par les flèches noirs, à commencer par le premier. Donc le premier entier non atteint par f sur {0,...,k-1} est l'image de k. Ca donne une idée du raisonnement.