Ensemble et suite

[mehdi-128]

Bonsoir,

Soit :

Comment montrer que la suite définie pour p entier naturel par :

appartient à A ?

Je ne suis pas habitué à manipuler des ensemble de suite donc ma question est peut être triviale.

[Viko]

Bonsoir,

soit un réel, montrer que cela revient à montrer qu'il existe un entier tel que . Mainteant si je considere un entier p par définition on a donc si je pose on en conclut qu'il existe un entier tel que ainsi , d'où le résultat

[Pseuda]

Bonsoir,

A est l'ensemble des termes d'une suite, plutôt qu'un ensemble de suites.

Il s'agit de montrer que les termes de rang impair de la suite appartiennent à l'ensemble, et non pas que la sous-suite des termes de rang impair appartient à l'ensemble. Il y a une erreur dans l'énoncé ?

[mehdi-128]

Ah merci super clair

Je dois montrer qu'il existe un entier n qui marche, j'avais pas trop saisi la nuance.

[mehdi-128]

Bonsoir,

A est l'ensemble des termes d'une suite, plutôt qu'un ensemble de suites.

Il s'agit de montrer que les termes de rang impair de la suite appartiennent à l'ensemble. C'est complétement trivial.

Oui c'est vrai

[Pseuda]

J'ai modifié mon message plus haut. Il y a à mon avis une erreur dans l'énoncé.

[mehdi-128]

Pas d'erreur d'énoncé je viens de vérifier.

[hdci]

Pour la définition de l'ensemble A : l'énoncé n'est pas incorrect.

• Une suite est une application de dans un ensemble : le même élément peut apparaître plusieurs fois, mais à un rang différent. Une suite est donc constituée d'une quantité dénombrable de termes.
  
• On la note et pas sous la forme d'un ensemble.
  
• Par contre l'ensemble est l'ensemble image de la fonction "suite". Là, les termes identiques ne sont vus qu'une seule fois.
  
• Ainsi, si , alors la suite est
  Par contre l'ensemble est ici puisque l'image de la fonction de est exactement cette paire.

Par contre

Comment montrer que la suite définie pour p entier naturel par :

appartient à A ?

est ambiguë. La suite n'appartient pas à , ses termes peuvent par contre appartenir à . Il vaut mieux dire ici "montrer que les termes de la suite définie par..." ou bien "montrer que la suite définie par(...) est à valeurs dans "

[mehdi-128]

Merci pour ces précisions ! Je manque de rigueur et précision.

Le livre dit : "cette suite prend, par construction, ses valeurs dans A".

C'était pour montrer qu'il existe une suite d'éléments de A qui converge vers

[Pseuda]

Bonjour,

C'était donc "cette suite prend ses valeurs dans A", et non pas "cette suite appartient à A". Il faut recopier les énoncés mot à mot pour qu'on ne se retrouve pas avec un énoncé ambigu qui détourne de la question posée.

Quant à sup A, elle est égale à 2 (pour n=0), je ne vois pas de sous-suite qui converge vers 2. Par contre, il existe bien une suite d'éléments de A qui converge vers 2.

[Pseuda]

Il suffit de prendre la suite constante égale à 2. C'est bien une suite d'éléments de A qui converge vers sup A.

[mehdi-128]

Elle est minorée par -1 dans donc

Pourquoi la suite n'appartient pas à A ?

[hdci]

La suite n'est pas un élément de , ce sont ses termes qui sont des éléments de .

La suite est un élément de l'ensemble des suites sur .

On peut revenir sur la définition première 'une suite : une suite sur c'est une fonction de et au lieu de noter comme une fonction classique, on note l'image de : mais il n'en reste que c'est strictement la même chose.

D'où "pourquoi la suite n'appartient pas à ?" est strictement la même question que "pourquoi la fonction n'appartient pas à ?" et la réponse est claire : parce que n'est pas un ensemble de fonction de .

[hdci]

Pourquoi la suite n'appartient pas à A ?

Egalement : n'est pas une suite, c'est le terme de rang p de la suite , ou encore c'est l'image de l'entier par la fonction .

C'est une confusion classique dans les fonctions qu'il faut absolument éviter : n'est pas une fonction, c'est l'image de par la fonction

[mehdi-128]

La suite n'est pas un élément de , ce sont ses termes qui sont des éléments de .

La suite est un élément de l'ensemble des suites sur .

On peut revenir sur la définition première 'une suite : une suite sur c'est une fonction de et au lieu de noter comme une fonction classique, on note l'image de : mais il n'en reste que c'est strictement la même chose.

D'où "pourquoi la suite n'appartient pas à ?" est strictement la même question que "pourquoi la fonction n'appartient pas à ?" et la réponse est claire : parce que n'est pas un ensemble de fonction de .

Ah merci pour la précision, j'ai bien compris

[mehdi-128]

n'est pas un ensemble de fonction de

Du coup A est un ensemble de réels ?

[hdci]

Oui, est un ensemble de réels.

Soit :

La notation entre accolades représente un ensemble. Un ensemble contient des éléments, tous différents. L'ordre des éléments n'a aucune importance
Par exemple, l'ensemble est exactement , il n'y a que deux éléments car la formule ne donne que deux éléments distincts, on peut également dire que
Dans votre exercice,

Une suite se note où est un ensemble dénombrable, le plus souvent . Une suite contient des termes, exactement un terme pour chaque élément de de l'ensemble .
L'ordre est primordial, les termes de la suite sont ordonnés selon leur indice.
On peut représenter la suite en extension en mettant les termes entre parenthèses :
Par exemple si est définie par , alors
Et ici c'est complètement différent de car cette suite est définie par

Dans votre exercice, la suite est

[mehdi-128]

Ah merci je vois bien la différence maintenant entre l'ensemble A et la suite , j'avais oublié que pour les suites faut les termes dans l'ordre

Le terme suite d'éléments étant utilisé dans une propriété de la borne supérieure c'est important de pas se mélanger les pinceaux