Ensemble de parties

[mathelot]

bonjour,
comment caracterise-t-on un ensemble de parties d'un ensemble ?
en plus formalisé:
soit X un ensemble . Existe-il un ensemble E tel que X=P(E) ? A quelle condition sur X?
est ce que ces ensembles (de parties) constituent une catégorie ?
je n'ai pas la réponse.
bonne journée.

[Ben314]

Salut,
Y a déjà au départ un peu deux façon de comprendre la question : veut tu vraiment que X soit égal à un certain P(E) ou juste qu'il soit équipotent à un certain P(E) ?
Dans le premier cas, c'est on ne peut plus simple : si un tel E existe, c'est et il suffit de vérifier si, avec un tel E, on a bien .
Dans le deuxième cas, ça revient à se demander si le cardinal de s'écrit sous la forme pour un certain cardinal . Pour les ensemble finis, ça revient à regarder si le cardinal est de la forme avec et pour les ensembles infini, ça va très clairement dépendre du modèle dans lequel tu est : par exemple dans ZFC+HCG, seul les cardinaux limite, comme par exemple le dénombrable, ne seront pas de ce type.

P.S. : Et concernant la notion de "catégorie", j'y connait absolument que dalle, mais il me semble bien que si tu ne précise pas qui va joueur le rôle de foncteurs, ça a pas bien de sens comme question...