Ensemble ordonné / Majorant

[informix]

Salut à tous,

Aidez-moi svp à répondre à cette question:
Si on considère un ensemble E non vide, muni d'une relation d'ordre R.

Que veut dire Majorant dans ce cas? Un élément ou un sous-ensemble de E?
Est-ce que (E, R) admet nécessairement un majorant? Ceci dépendra-t-il de la nature de R (totale, partielle, ...)

@+

[ThSQ]

Je dirais que c'est un élément qui est plus grand que tous les autres.

Un ensemble, même muni d'un relation d'ordre totale, n'admet pas forcément de majorant : muni de la relation d'ordre .

Un ensemble muni d'une relation d'ordre partielle peut avoir un majorant : (P(E), ), ie les parties d'un ensemble (avec au moins deux éléments ....) muni de l'inclusion. L'ordre est partiel mais il y a un majorant : E him-self.

Bref c'est le boel et il faut voir au cas par cas.

[xyz1975]

Bonsoir
Remplacez inférieur ou égaldans les définitions connues dans l'ensemble des réels par R vous trouvez la définition d'un majorant mais attention, majorant d'une partie car à ce moment là on parlera du plus grand élément ou maximum, c'est à dire la notion de majorant et de minorant est liée à une partie d'un ensemble muni d'une relation d'ordre.
Remarque : faites attention par rapport à la relation d'ordre : total ou partiel.

[informix]

Si on considère comme ensemble E = IR² (IRxIR)

On considère la relation défini pour tout U et V de E telle que:

veut dire que et .

On vérifie bien que c'est une relation d'ordre.
Elle est aussi partielle.

Que peut être Majorant ici?

[ThSQ]

Y'en a pas.

[informix]

Y'en a pas.

C'est pour cette raison que j'ai insisté sur la définition de "majorant".
Si la relation d'ordre est partielle, alors, il existe au moins un couple d'éléments U et V non comparable. Est-ce que l'ensemble des élements non comparables au sens d'une relation d'ordre partielle telle que est un ensemble particulier? Possède-t-il des propriétés spéciales?

Je me pose cette question parce que dans l'exemple que j'ai cité, l'ensemble des éléments non comparables constitue semble être spécial: prendre un repère cartésien et un ensemble de plusieurs points M(x,y). Puis, essayer de déterminer l'ensemble des élements non comparable au sens de la relation

:hum:

[ThSQ]

Si la relation d'ordre est partielle

Regarde mon post précédent. Le fait d'être partiel ou non n'est pas lié au fait d'avoir un majorant ou non.

[informix]

Regarde mon post précédent. Le fait d'être partiel ou non n'est pas lié au fait d'avoir un majorant ou non.

D'accord.
Et les autres questions SVP... celles qui concernent les propriétés (si elles existent) de l'ensemble des éléments non comparables au sens d'une relation R (exemple: (IR^2,<=) telle que je l'ai défini)...

thanks