Un ensemble de Lebesgue non mesurable
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
par legeniedesalpages » 08 Déc 2007, 00:05
Bonsoir, je bloque sur cet exercice:
On définit sur
la relation d'équivalence
par
Soit
tel que
contient un et un seul élément de chacune des classes d'équivalence de
.
1) Montrer que
forme une famille d'ensembles disjoints.
2) On considère
. Montrer que
.
3) On suppose que
.
(a) Montrer que l'on a nécessairement
(b) Quelles sont les valeurs possibles de
?
(c) En utilisant 2, montrer que l'on aboutit à une contradiction.
Donc pour la 1), c'est bon mais ensuite je bloque sur la 2) déjà sur l'inclusion de gauche,
merci pour votre aide
par legeniedesalpages » 08 Déc 2007, 00:12
En fait mon problème est surtout à ce niveau:
On considère
, on veut donc montrer qu'il existe
et
tel que
,
je pensais prendre
tel que
, on sait qu'il en existe exactement un dans
,
mais après comment pouvoir affirmer que -
?
par legeniedesalpages » 08 Déc 2007, 00:14
non en fait c'est bon, j'ai pas bien lu l'énoncé, j'avais pas fait gaffe que
par legeniedesalpages » 08 Déc 2007, 00:24
pour la 3b par contre, je tilte pas :hein:
par legeniedesalpages » 08 Déc 2007, 00:27
non pardon, j'ai encore posté trop vite oui, c'est 0 ou plus l'infini.
Désolé :marteau:
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tize
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par tize » 08 Déc 2007, 10:06
Bonjour legénie,
c'est un exercice très classique :
2) les éléments de C sont majorés par 1 et minorés par 0 et les rationnels sont pris dans [-1;1] donc pour tout
et tout
,
alors
ce qui est impossible car
et on devrait donc avoir
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serge75
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par serge75 » 08 Déc 2007, 10:08
Dans ta question 3a, ne s'agirait-il pas plutôt des lambda(C+q)
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tize
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par tize » 08 Déc 2007, 10:41
serge75 a écrit:Dans ta question 3a, ne s'agirait-il pas plutôt des lambda(C+q)
ou
c'est la même chose puisque la mesure de Lebesgue est invariante par translation...
par legeniedesalpages » 08 Déc 2007, 14:46
merci Tize, c'est bien ce que j'avais trouvé.
Juste une chose, pour affirmer l'existence de
, on a besoin de l'axiome du choix, c'est bien ça?
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tize
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par tize » 08 Déc 2007, 14:50
legeniedesalpages a écrit:merci Tize, c'est bien ce que j'avais trouvé.
Juste une chose, pour affirmer l'existence de
, on a besoin de l'axiome du choix, c'est bien ça?
Tout à fait, sans l'axiome du choix (non dénombrable) on peut pas...
par legeniedesalpages » 08 Déc 2007, 14:53
oui dénombrable c'est vrai,
et sans utiliser l'axiome du choix on ne peut pas trouver une partie réelle qui ne soit pas un borélien?
Si c'est le cas c'est pour ça qu'on peut dire tout en restant rigoureux que toutes les parties réelles qu'on rencontre en pratique sont des boréliens?
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par tize » 08 Déc 2007, 15:01
Je ne connais aucune méthode ne faisant pas appelle à l'axiome du choix pour exhiber un non borélien et je ne pense pas que cela soit possible sans l'axiome du choix ou un équivalent (Lemme Zorn,...)
Après, dans la pratique...je ne me mouillerai pas à dire que toutes les parties de R que l'on rencontre sont des boréliens, après tout la pratique vient de te montrer le contraire...
par legeniedesalpages » 08 Déc 2007, 15:20
tize a écrit:Je ne connais aucune méthode ne faisant pas appelle à l'axiome du choix pour exhiber un non borélien et je ne pense pas que cela soit possible sans l'axiome du choix ou un équivalent (Lemme Zorn,...)
Après, dans la pratique...je ne me mouillerai pas à dire que toutes les parties de R que l'on rencontre sont des boréliens, après tout la pratique vient de te montrer le contraire...
Non c'est juste une définition qui a été donnée dans mon cours d'intégration de deuxième année (Dixmier 2e année), pour ne pas rentrer plus dans les détails de la théorie de la mesure, et je trouvais étonnant de rencontrer une définition qui paraît aussi peu "mathématique".
Et peut être que c'aurait été l'explication pour ce choix de définition. Je pense que par "pratique" on sous-entend les ensembles où l'on peut déterminer les éléments, ce qui n'est pas le cas de C ici, non?
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par tize » 08 Déc 2007, 15:29
Effectivement, on sait théoriquement qu'ils existent, on sait même comment les définir (avec les classes modulo ~) mais comme ils sont non dénombrables, il est difficile de les imaginer, on ne sait pas trop comment ils sont répartie dans [0,1]...
par legeniedesalpages » 08 Déc 2007, 15:43
En tout cas merci pour ton aide,
la théorie de la mesure c'est vraiment pas évident je trouve :(
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