L'ensemble des suites numériques peut-il être considéré comm

[chombier]

Bonjour,

L'étude des polynômes me fait me poser quelques questions...

On sait que l'ensemble des polynômes sur K est un sous espace vectoriel de l'ensemble des suites de N dans K. Il s'agit du sous espace vectoriel des suites "presque nulles" c'est à dire nulles à partir d'un certain rang.

A partir de là, on définit la multiplication de deux polynômes qui fait de cet ensemble un anneau.

Est-ce qu'en étendant la multiplication des polynomes aux suites (c'est à dire ), on aboutit à une structure d'anneau ? Je ne vois a priori rien qui s'y oppose...

Autre question, pendant que j'y suis, existe-t-il une base à l'espace vectoriel des suites de K dans R ? Je pense que non mais je ne vois pas trop comment le démontrer.

Merci d'avance, en espérant que mes questions vous inspirent !!

[barbu23]

Oui, on parle à ce moment là d'algèbre de polynômes si je ne m'abuse. :happy3:

[SLA]

Oui, on parle à ce moment là d'algèbre de polynômes si je ne m'abuse. :happy3:

Non, ce n'est pas la question.

Mais pour répondre à la question initiale, c'est bien sur une opération bien définie. L'anneau en question est appelé anneau des séries formelles. Les polynômes en sont un sous-anneau.
Une conséquence du lemme de zorn (ou de l'axiome du choix) nous dit que tout espace vectoriel possède une base. Après tout dépend de ton niveau d'étude, mais tu peux vivre très bien sans le savoir.
Cordialement

[barbu23]

Non, ce n'est pas la question.

Mais pour répondre à la question initiale, c'est bien sur une opération bien définie. L'anneau en question est appelé anneau des séries formelles. Les polynômes en sont un sous-anneau.
Une conséquence du lemme de zorn (ou de l'axiome du choix) nous dit que tout espace vectoriel possède une base. Après tout dépend de ton niveau d'étude, mais tu peux vivre très bien sans le savoir.
Cordialement

Tu confonds certes et . :we:

[chombier]

Tu confonds certes et . :we:

Je me posais bien la question sur (merci à SLA pour la réponse) et non sur , qui est si j'ai bien compris l'anneau des polynômes (qu'on apprends à connaitre beaucoup plus tôt).

D'ailleurs, merci pour l'autre info (tout ev possède une base). Est-ce un théorème construcif ? Puet-on donner une base de ou est-on simplement assuré de son existence ?

[barbu23]

Bonjour,
L'étude des polynômes me fait me poser quelques questions...
On sait que l'ensemble des polynômes sur K est un sous espace vectoriel de l'ensemble des suites de N dans K. Il s'agit du sous espace vectoriel des suites "presque nulles" c'est à dire nulles à partir d'un certain rang.

Et pourquoi parles tu de de suites presque nulles alors ? :zen:

[SLA]

Tu confonds certes et . :we:

Qui ca? Moi?

Je me posais bien la question sur (merci à SLA pour la réponse) et non sur , qui est si j'ai bien compris l'anneau des polynômes (qu'on apprends à connaitre beaucoup plus tôt).

D'ailleurs, merci pour l'autre info (tout ev possède une base). Est-ce un théorème construcif ? Puet-on donner une base de ou est-on simplement assuré de son existence ?

Justement non, c'est pas du tout constructif. Par contre une base de est donnée par la famille des e_i (i entier naturel), où e_i qui vaut 0 partout sauf en i, elle vaut 1.
Note que si on note e_1=X. Alors X^n (puissance donnée avec la loi du produit que tu as définis) = e_n.

Et pourquoi parles tu de de suites presque nulles alors ? :zen:

Probablement parce que l'ensemble des polynômes est l'ensemble des suites presques nulles...

[chombier]

Et pourquoi parles tu de de suites presque nulles alors ? :zen:

J'ai du vous embrouiller, je parlais de ce que je connaissais : les polynômes, i.e. les suites presque nulles, et je voulais savoir si on pouvait étendre cette notion à l'ensemble des suites pour obtenir un "plus grand" anneau (Ce qu'on m'a confirmé)

[barbu23]

Qui ca? Moi?

Oui. :happy3:

[chombier]

Justement non, c'est pas du tout constructif. Par contre une base de est donnée par la famille des e_i (i entier naturel), où e_i qui vaut 0 partout sauf en i, elle vaut 1.
Note que si on note e_1=X. Alors X^n (puissance donnée avec la loi du produit que tu as définis) = e_n.

Oui, cette base là je la connais.
Comme tu le fais remarquer, à mon niveau on la note {1, X, X^2, X^3, ...}

Dommage que la preuve ne soit pas constructive, mais bon à savoir :lol3:

[SLA]

Tu confonds certes et . :we:

Non, non, j'insiste. Avec cette loi pour la multiplication, ce sont les séries formelles et les polynômes.
Où me trompe-je?

Oui, cette base là je la connais.
Comme tu le fais remarquer, à mon niveau on la note {1, X, X^2, X^3, ...}

Dommage que la preuve ne soit pas constructive, mais bon à savoir :lol3:

Les espaces peuvent être très gros (ça augmente du coup la taille des bases). Imagine une base des fonctions (juste des fonctions) de X dans R.
X pouvant déjà être très gros...

[Ben314]

Dommage que la preuve ne soit pas constructive, mais bon à savoir :lol3:

Si tu veut juste une "idée", de la preuve (donc un truc pas très formel), ben... c'est la même chose qu'en dimension finie :
On prend un vecteur e1, puis, si vec{e1} n'est pas l'espace tout entier on prend un deuxième vecteur e2 qui n'est pas dans vec{e1}, puis, vec{e1,e2} n'est pas l'espace tout entier tu prend un e3... etc etc...
Le problème, c'est que, si tu construit comme ça des e_n pour tout entier naturel n, ben aussi bien ça sera toujours pas une base, c'est à dire que l'espace vectoriel engendré sera strictement plus petit que ton espace E.
Donc... il faut continuer à choisir des e_? et continuer encore à en choisir.... (alors qu'on en a déjà choisi une infinité :hein:)
Et le "Lemme de Zorn", au fond, il dit qu'à force d'en choisir des infinités d'infinités de plus en plus grosses, ben on finira par avoir une base (en général énooooorme).

Rappel : c'est une "idée naïve" de la preuve, mais ça permet de comprendre que
1) C'est pas du tout constructif : il faut tirer au pif des éléments, et en plus le faire une monstrueuse infinité de fois...
2) Ca sert pas vraiment à grand chose dans la plupart des (nombreux) domaines où on manipule des e.v. de dimension infinie.

[chombier]

Non, non, j'insiste. Avec cette loi pour la multiplication, ce sont les séries formelles et les polynômes.
Où me trompe-je?

Pour moi non, et je suis formel :we: Il y a eu malentendu sur ma première question, mais sinon on est tous d'accord.

Les espaces peuvent être très gros (ça augmente du coup la taille des bases). Imagine une base des fonctions (juste des fonctions) de X dans R.
X pouvant déjà être très gros...

Oui, je me suis déjà fait la remarque que l'ensemble des applications de R dans R est un espace vectoriel, mais rien que l'idée d'une base de cet espace dépasse largement mon entendement.

Ce qui m'a surpris, en fait c'est que et semblent très proches, et que intuitivement, j'aurais bien dit que {1, X, X^2, ...} est une base de , (ça marcherait si il n'y avait pas de "à support fini" dans la définition d'une famille génératrice. Mais il y est bien pour une raison, la preuve !!).

[barbu23]

Non, non, j'insiste. Avec cette loi pour la multiplication, ce sont les séries formelles et les polynômes.

Ici, il s'agit de .

[Ben314]

ça marcherait si il n'y avait pas de "à support fini" dans la définition d'une famille génératrice. Mais il y est bien pour une raison, la preuve !!).

Il faut aussi bien comprendre que, dans un espace vectoriel "bète", c'est à dire non muni d'une norme ou d'autre chose permettant de mesure la distance entre les vecteur, une somme infinie ne veut absolument rien dire.

Ne serait-ce que dans R, pour parler de "somme infinie" (i.e. de séries), il faut évidement connaitre la notion de limites qui utilise la notion de distance entre deux réels (une suite tend vers quelque chose, ça veut dire que les termes sont "proches" de la limite à partir d'un certain rang)

[SLA]

Pour moi non, et je suis formel :we: Il y a eu malentendu sur ma première question, mais sinon on est tous d'accord.


Oui, je me suis déjà fait la remarque que l'ensemble des applications de R dans R est un espace vectoriel, mais rien que l'idée d'une base de cet espace dépasse largement mon entendement.

Ce qui m'a surpris, en fait c'est que et semblent très proches, et que intuitivement, j'aurais bien dit que {1, X, X^2, ...} est une base de , (ça marcherait si il n'y avait pas de "à support fini" dans la définition d'une famille génératrice. Mais il y est bien pour une raison, la preuve !!).

Pour mathématiser cette proximité, on peut munir l'anneau des séries formelles d'une distance (ultrametrique) qui rend l'ensemble des polynômes dense.
As-tu déjà fais un peu de topologie?

[SLA]

Il faut aussi bien comprendre que, dans un espace vectoriel "bète", c'est à dire non muni d'une norme ou d'autre chose permettant de mesure la distance entre les vecteur, une somme infinie ne veut absolument rien dire.

Ne serait-ce que dans R, pour parler de "somme infinie" (i.e. de séries), il faut évidement connaitre la notion de limites qui utilise la notion de distance entre deux réels (une suite tend vers quelque chose, ça veut dire que les termes sont "proches" de la limite à partir d'un certain rang)

Et encore, pour donner un sens quasi systématique a une somme infinie de vecteur, on a même besoin de la complétude de l'espace.

[chombier]

Pour mathématiser cette proximité, on peut munir l'anneau des séries formelles d'une distance (ultrametrique) qui rend l'ensemble des polynômes dense.
As-tu déjà fais un peu de topologie?

J'ai quelques connaissances, je sais ce qu'est une distance, une boule ouverte/fermée, un voisinage, et un point adhérent.

Et quelques notions, j'ai une idée de ce qu'est un espace connexe, mais ça s'arrête là. Mais bon, j'espère bien y venir !!

J'ai vu en effet sur la page wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_formelle qu'il fallait une distance avant de parler de série formelle : "Afin d'étendre ce développement aux séries infinies, nous avons besoin d'une distance sur R^N".

Merci à tous, je crois que vous avez largement répondu à mes questions

[Ben314]

Et encore, pour donner un sens quasi systématique a une somme infinie de vecteur, on a même besoin de la complétude de l'espace.

Si on veut être pointilleux, pour définir la notion de somme infinie, y'a pas besoin de la complétude.
Bon, après, si en plus de la définir on veut l'utiliser, là, c'est plus pareil... :zen:

[Ben314]

J'ai vu en effet sur la page wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_formelle qu'il fallait une distance avant de parler de série formelle : "Afin d'étendre ce développement aux séries infinies, nous avons besoin d'une distance sur R^N".

Justement, non : pour les séries formelles tu n'a besoin de rien (si ce n'est un anneau où tu prend les coefficients, bien sûr).
C'est lorsque l'on veut passer des séries formelles à des fonctions que là, il faut avoir une topologie sur l'espace sur lequel on travaille (qui, comme pour les polynômes, peut être l'anneau des coefficients ou... autre chose : on peut par exemple "appliquer" un polynôme à une matrice)
Alors que dans le cas des polynômes formels, on n'a besoin de rien pour construire les fonctions polynômes.