Ensemble des parties

par **Pi87** » 20 Oct 2008, 18:05

Bonsoir tout le monde !
Je bloque sur un exercice niveau sup :
Soit E un ensemble
A et B inclus dans E
TETA telle que P(E) (ensemble des parties de E) -> P(A) x P(B)
[CENTER]x -> (X inter A,X inter B)[/CENTER]

J'ai réussi à déterminer les X appartenant à P(E) tels que TETA(X)=(A,ensemble vide).
Mais ensuite ils demandent de montre que TETA est surjective si et seulement si A inter B = ensemble vide ...
Je ne vois vraiment pas. Je sais qu'il faut faire les deux sens mais j'arrive pas à prouver l'une à partir de l'autre ...

Merci d'avance!
Alucard69

par **leon1789** » 20 Oct 2008, 18:42

Pi87 a écrit:Mais ensuite ils demandent de montre que TETA est surjective si et seulement si A inter B = ensemble vide ...

tu es certain(e) de toi ? Je pensais plutôt à

TETA est surjective si et seulement si A union B = E
TETA est injective A inter B = ensemble vide

:triste:

par **Pi87** » 20 Oct 2008, 18:47

Non je dois bien montrer que :

TETA surjective ssi A inter B = ensemble vide
TETA injective ssi A union B = E

Il y a peut-être une erreur dans l'énoncé?

par **Doraki** » 20 Oct 2008, 18:48

Non l'énoncé a l'air bon

Pi87 a écrit:J'ai réussi à déterminer les X appartenant à P(E) tels que TETA(X)=(A,ensemble vide)

Ah oui ? C'est quoi ces ensembles ?

par **abcd22** » 20 Oct 2008, 18:48

Si son énoncé est correct, c'est toi (leon) qui inverses injective et surjective.
C'est plus simple de montrer l'équivalence « theta non surjective équivaut à A inter B non vide » plutôt que de faire la démonstration directe, tu peux utiliser la question précédente...

par **Pi87** » 20 Oct 2008, 18:58

Doraki a écrit:Non l'énoncé a l'air bon

Ah oui ? C'est quoi ces ensembles ?

J'ai montré que X contient A et X est disjoint de B :we:

par **Doraki** » 20 Oct 2008, 19:06

Theta(X) = (A,ensemble vide) si et seulement si X contient A et X est disjoint de B, oui.

Est-ce qu'il existe toujours de tels ensembles X ?

par **leon1789** » 20 Oct 2008, 19:07

abcd22 a écrit:Si son énoncé est correct, c'est toi (leon) qui inverses injective et surjective.

ah oui, effectivement. :briques:

par **Pi87** » 20 Oct 2008, 19:08

Euh ... non si A inclus dans B cela ne marche pas :hum:

par **Doraki** » 20 Oct 2008, 19:16

C'est tout ? Si A inter B n'est pas vide ça peut marcher ?

par **Pi87** » 20 Oct 2008, 19:21

Si X contient A et A inter B différent de l'ensemble vide, cela ne marche pas, car B ne serait pas disjoint de X... non ? :hein:

par **Doraki** » 20 Oct 2008, 19:27

En effet, si X contient A alors X inter B contient A inter B, et donc si A inter B n'est pas vide, X ne peut pas être disjoint de B.

Alors donc, est-ce que Theta peut etre surjective si A inter B est non vide ?

par **Pi87** » 20 Oct 2008, 19:33

Non, elle ne peut pas être surjective dans ce cas, à mon avis.
Il faut le montrer comme cela?
Merci en tout cas.

par **Doraki** » 20 Oct 2008, 19:46

On s'en fiche de la manière dont tu le montres, tant que c'est par un raisonnement juste et bien expliqué.

Après ça, il faut que tu montres que si A inter B est vide alors Theta est surjective, c'est à dire que quels que soient A' et B' sous-ensembles de A et B respectivement, il existe un sous-ensemble X de E tel que Theta(X) = (A' , B'). A toi de dire comment on construit un tel X et d'expliquer pourquoi il convient.

par **Pi87** » 20 Oct 2008, 19:55

Ok merci! Il faut procéder de la même manière pour montrer que TETA injective ssi A U B = E ?

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