Ensemble compact

[boandre]

Bonjour,
dans mon cours on me donne la définition d'un ensemble compact (au sens de Bolzano-weierstrass) :
donc K est compact si toute suite (Un) telle que (Un) appartient à K admet une sous suite convergente vers L avec L appartenant a K.
mon premier problème est que je ne vois pas très bien la différence avec un ensemble fermé et ensuite on me demande de montrer que certains ensembles ( du type : [-1,1] , [0,2]U{3} ) sont compact d'après la définition comment doit on procéder ?

Merci d'avance :)

[zork]

Une partie A est fermée ssi toute suite convergente de A a sa limite dans A (on ne parle pas de sous suite)

dans R, un ensemble est compact ssi il est fermé borné
du coup [-1,1] est compact
[0,2]U{3} est une union fini de compact donc c'est compact

[Le_chat]

Par exemple R est fermé mais pas compact.

[boandre]

ok merci je comprend mieux ! est ce que R U{+infinie}U{-infinie} est compact alors ?

[Le_chat]

Ouais c'est compact, vu que une suite qui n'est pas bornée admet plus ou moins l'infini comme valeur d’adhérence.

[boandre]

ok merci beaucoup j'y vois plus clair :) bonne journée !