Ensemble de Cantor

[nemesis]

bonjour a tous
comment montrer la non dénombrabilité de l'ensemble de Cantor ?
merci d'avance

[matheu:-)]

bonjour,
Idée simple de la démo: tu démontres que les nombres de l'ensemble de Cantor sont ceux dont l'écriture décimale en base 3 ne s'écrit qu'avec des 0 ou des 2 (à condition d'admettre les écriture impropres avec une suite infinie de 2 à la fin au lieu de l'écriture "propre": un "1" suivi d'une infinité de "0"), puis tu établiras une surjection avec les réels, écrits cette fois en base 2 (le "2" étant remplacé par un "1" dans l'écriture décimale). Les nombres "décimaux" (en écriture en base 2) auront deux antécédents: pour 0,1101, par exemple, tu auras 0,2202 et 0,220022222222222...
Les autres nombres n'auront qu'un antécédent.

Tu auras donc montré qu'il y a autant de nombres dans l'ensemble de Cantor que dans la droite réelle d'origine.

[aviateurpilot]

(c'est l'ensemble de cantor)
soit tel que.
pour on a avec dans la base
c'est application est bien definie et elle est surjective.
donc on peux extraire une application bijective d'une partie de vers qui n'est pas denombrable.

[quinto]

Un truc un peu plus violent, s'il était dénombrable il serait de de dimension de Hausdorff nulle, mais ce n'est pas le cas par construction ;)
Mais c'est clairement non trivial en fait.

Sauf erreur(s).