Ensemble de Cantor

[tize]

Bonjour,
tout d'abord c'est la décomposition en base 3...
Remarquons déjà que est réunion disjointe de d'intervalles dont les bornes sont de la forme : avec et , si donc alors il existe tel que . On a donc avec car dans un intervalle de longueur égale à , donc la décomposition en base 3 de ce dernier terme s'écrit : avec pour d'où
Ensuite avec , il est facile de déduire que
Pour la 2) si alors évidemment ...donc si on prend (décomposition en base 2) on trouve très facilement quel élément vérifie d'où la surjectivité...
Pour la 3) et chaque est une réunion disjointe de intervalles de longueur donc , remarquons aussi que la suite est décroissante et , on a donc (et c'est vrai pour toute mesure) .
est donc négligeable, on en déduit qu'il existe des ensembles équipotents à de mesure nulle.

[trust]

:++: Merci Tize!!!

[legeniedesalpages]

Bonjour tize et merci pour ce topo. :)

Je me repose et je digère ça. :)

[legeniedesalpages]

Bonjour,
tout d'abord c'est la décomposition en base 3...
Remarquons déjà que est réunion disjointe de d'intervalles dont les bornes sont de la forme : avec et , si donc alors il existe tel que . On a donc avec car dans un intervalle de longueur égale à , donc la décomposition en base 3 de ce dernier terme s'écrit : avec pour d'où

Bon en fait, c'était plus facile à digérer tellement tu as bien expliqué.

Encore un grand merci et joyeux Noel :king2:

[legeniedesalpages]

Est-ce qu'il existe d'autres ensembles de mesure nulle dans IR et qui soient non dénombrables (et non finis), et qui sont construits différemment que l'ensemble de Cantor.