Ensemble de Cantor

[legeniedesalpages]

Bonsoir,

je ne vois pas comment procéder pour la question 1 de cet exercice:

Soit .
On divise en trois parties égales et on enlève l'intervalle ouvert au milieu pour obtenir .
On divise à nouveau chaque segment obtenu en trois parties égales et on enlève chaque intervalle ouvert médian pour obtenir et ainsi de suite. L'ensemble est appelé l'ensemble de Cantor (canonique).

1) Montrer que

[CENTER],

,


.[/CENTER]

2) Pour tout avec on fait correspondre le réel . Vérifier que définit une application surjective de sur et en déduire que n'est pas dénombrable.

3) Montrer que est -négligeable. Quel commentaire faites-vous?

Merci pour vos indications.

[legeniedesalpages]

Bon pour montrer que , c'est ok, mais pour l'autre inclusion, je ne vois pas. :hein:

[legeniedesalpages]

ok, je viens de comprendre pour l'autre inclusion. Comme il est dit dans l'article de wiki , on utilise l'écriture des réels en base 3.

[legeniedesalpages]

Pour , donc l'égalité est vraie pour . On la suppose vraie pour l'entier , et on la montre pour :

Soit , alors par hypothèse de récurrence

[CENTER][/CENTER]
avec .

Reste à montrer que . Là je bloque.

[trust]

Pour la 1°, je crois qu'il faut les faire par récurrence.. (j'ai la flemme un peu)
Pour la 2°, utilise le théorème de Cantor Berstein...
Pour la 3°, je comprends pas trop la question...

[legeniedesalpages]

Bonjour trust,

oui je pense bien qu'il faut faire une récurrence, mais comme je disais dans mon post précédent, je ne vois pas comment montrer que .

[trust]

suppose que, tu vas aboutir à une contradiction.

[legeniedesalpages]

Oui, ça aussi j'ai tenté, mais je ne voiis pas comment montrer que . Pour ça, je pense qu'il faudrait que j'explicite en termes d'union d'intervalles disjoints comme le suggère la construction mais ça coïnce. :triste:

[legeniedesalpages]

Sinon je pensais à ça, mais je n'arrive pas à aboutir:

on pose avec ,

et on pose avec ,

On a et .

si on montre que (enfin là je vois pas vraiment comment le montrer) alors on peut essayer d'en déduire que , d'où la contradiction.

[trust]

Suppose

pose avec ,

et on pose avec ,

On a et . Après y aura une contradiction.

Pour et , ça marche par contre et voilà.

[legeniedesalpages]

ok je regarde ça, merci trust. :)

[trust]

Dis-moi quand même si ça marche ou pas, j'avais pas envie de faire les calculs...

[legeniedesalpages]

ok, mais comment montrer que ??

[trust]

Bah ils vérifient ça non?

[legeniedesalpages]

Bah ils vérifient ça non?

oui donc isl ont dans , mais pourquoi ils sont dans ?

[trust]

ah bah ça alors... attends, jvais voir...
En tout cas, ça devrait marcher pour

[legeniedesalpages]

oui les questions qui suivent ont l'air plus abordable, mais alors ce est vraiment diabolique :crash:

[Joker62]

Moi je dirais : considère l'écriture de x € R en base 3.

On part de J = [0;1] et on découpe en trois parties :

J = [0;1/3] U ]1/3;2/3[ U [2/3;3]

En base trois on a : J = [0;0.1] U ]0.1;0.2[ U [0.2;0.3]
Après la première étape de suppression on se retrouve donc avec :

J' = [0;0.1] U [0.2;0.3]

C'est à dire, que l'on a enlevé tout les nombres réels commençant par 0.1
On réeitère, et on s'aperçoit qu'on a enlevé tout les nombres qui commence par 0.1; 0.01; 0.001; 0.0001 ...

Plus d'explication : http://serge.mehl.free.fr/anx/triadique.html

[trust]

oui mais comment on peux démontrer ?

[legeniedesalpages]

Salut Joker (ça fait longtemps :we: )

en fait j'ai déjà vu cette page, et ce qui est expliqué par rapport au développement triadique est exactement ce que je souhaite montrer (formulé autrement) par récurrence me semble-t-il.

Pour le côté illustratif, c'est ok, mais je ne vois pas comment le montrer par une récurrence bien aboutie (précisément l'hérédité).

Je crois que j'ai trouvé une doc qui peut éventuellement aider: (http://www.humanitude.asso.uvsq.fr/seb/maths/projet/projet.pdf , page 32)

'tain, je suis pas près de passer au cantor généralisé, si je bloque comme ça sur ce satané .