Ensemble de Cantor et Grande Contradiction des Mathématiques

[DedenK]

Bonjour,

J'ai quelques soucis avec ce cas pathologique qu'est l'ensemble triadique de Cantor...

En effet, cet ensemble, vu comme limite d'une construction récurrente à partir de [0,1] se construit notamment comme suit : C(n+1)=h(0,1/3)(C(n)) U h(1,1/3)(C(n)), où h(a,1/3) désigne l'homothétie de centre a et de rapport 1/3, en prenant C(0)=[0,1].
Or, cet ensemble limite est dit compact, sans point isolé, d'intérieur vide, totalement discontinu, négligeable, et surtout : il a la puissance du continu (en bijection avec R).
Si jamais je dis des bêtises, dites-le moi ! (je ne fais que recopier ce que j'ai trouvé ici : http://www.mathcurve.com/fractals/cantor/cantor.shtml).

Or là est mon problème : pour essayer de visualiser un peu mieux, j'ai cherché un autre cas semblable (intérieur vide, puissance du continu, totalement discontinu, etc.) et j'ai pensé à R\Q... ai-je raison ?
Il se trouve cependant, que, si je ne me trompe pas, C (la limite de C(n)) doit être, de même que R\Q, une réunion NON DENOMBRABLE de singletons de [0,1]. Non dénombrable car puissance du continu, et singletons car d'intérieur vide... On peut encore dire que C=U,c€C,{c}.
Or, je constate qu'à chaque étape de la construction, les bornes des segments que l'on peut explicitement calculer de façon très simple à partir de la formule de l'homothétie (h(B)=(B-a)/3+a) sont toutes rationnelles, C(n) étant la réunion finie de ces 2^n segments. Qui plus est, elles demeurent là à chaque étape, et à chaque étape se crée le double de ces segments (donc de bornes rationnelles). C'est bien à partir de ce x2 donnant un 2^n qu'on obtient la puissance du continu, j'imagine... Toutefois, si ces bornes rationnelles font clairement partie de C puisque ces suites de bornes (suites de suites) sont croissantes pour l'inclusion de leur image ({a(n+1,i)|i€N}C{a(n,i)|i€N} si a(n,i) désigne la suite des bornes à l'étape n, avec a(n,i)=0 si i>2^n-1), comment peut-on obtenir des irrationnels dans C ???
Si l'on n'a que des rationnels, C est dénombrable. Or je ne vois pas comment ces suites (bornes) de rationnels pourraient "tendre" vers un irrationnel de la manière dont elles sont construites !!
En somme, je n'arrive pas à trouver d'élément irrationnel dans C, puisque si x€C, alors par inclusion stricte des C(n), x€C(n) pour tout n€N (C vaut l'intersection des C(n)), et ce dernier se retrouve donc coincé dans une infinité de segment emboîtés de type [a,b] avec a et b rationnels, cette suite de segments emboîtés devant tendre vers un singleton (puisque C est d'intérieur vide !), et donc vers un nombre rationnel !
--> ce raisonnement conduisant évidemment à la grande contradiction des mathématiques, j'aimerais comprendre où est mon erreur !

Quelqu'un pourrait-il m'aider à y voir plus clair ?
D'avance merci, DedenK.

[Luc]

Salut,

Le problème est que C contient effectivement des irrationnels!
Une suite de segments emboités à bornes rationnelles ne tend pas forcément vers un singleton rationnel. Par exemple, on peut approcher par deux suites de rationnels adjacentes et telles que .
est bien dans tous les intervalles dont l'intersection est un singleton par le théorème des fermés emboîtés (au sens de ). Mais l'on n'a jamais dit que la valeur dans ce singleton était rationnelle ( n'est bien sûr pas fermé).

Cordialement,

Luc

[DedenK]

Bonsoir et merci d'avoir répondu si vite.

Je ne dirai qu'une chose : bien vu !
En fait, C est donc un mélange de rationnels (les bornes des segments qui composent chaque C(n)) et d'irrationnels : limites de cette infinité de suites de segments emboités. J'ai bon ?
Toutefois, est-ce qu'on connaîtrait un de ces irrationnels ?.......

Cordialement, DedenK.

[Luc]

Le problème avec les irrationnels c'est qu'ils ne sont pas très faciles à désigner: à part les définir comme racine d'un certain polynôme ou limite de suite, je ne vois pas comment faire. Et prouver que la limite d'une certaine suite de segments de Cn est irrationnelle me paraît difficile :)

Luc

[Doraki]

Les irrationnels appartenant à C sont ceux dont l'écriture en base 3 ne contient pas de 1, donc ne contient que des 0 et des 2 :
Quand tu as déjà filtré les réels qui contiennent un 1 dans les n premiers chiffres et que tu itères ton opération, tu élimines pour chaque intervalle le sousintervalle de réels dont le (n+1)ème chiffre est 1 et tu gardes les 2 sous intervalles de réels pour lesquels l'écriture continue par un 0 ou par un 2.

Par exemple, 0.200200002... = 2 * somme des (1/3)^(n²) est un irrationnel appartenant à C.

[Luc]

Les irrationnels appartenant à C sont ceux dont l'écriture en base 3 ne contient pas de 1, donc ne contient que des 0 et des 2 :
Quand tu as déjà filtré les réels qui contiennent un 1 dans les n premiers chiffres et que tu itères ton opération, tu élimines pour chaque intervalle le sousintervalle de réels dont le (n+1)ème chiffre est 1 et tu gardes les 2 sous intervalles de réels pour lesquels l'écriture continue par un 0 ou par un 2.

Par exemple, 0.200200002... = 2 * somme des (1/3)^(n²) est un irrationnel appartenant à C.

Super!

PS: La preuve pour montrer que somme des (1/3)^(n²) est un irrationnel se rapproche de celle de l'irrationnalité de e comme somme d'une série je suppose ?

Luc

[Doraki]

Non, pour l'irrationalité c'est facile.
Si c'était un rationnel, son écriture en base 3 (ou dans toute autre base) finirait par être périodique.
J'ai évidemment pris soin d'avoir une écriture non périodique.

Si par contre je voulais montrer qu'il est transcendant, y'aurait plus de boulot.

[Luc]

Non, pour l'irrationalité c'est facile.
Si c'était un rationnel, son écriture en base 3 (ou dans toute autre base) finirait par être périodique.
J'ai évidemment pris soin d'avoir une écriture non périodique.

Si par contre je voulais montrer qu'il est transcendant, y'aurait plus de boulot.

Ok, effectivement l'argument de périodicité de l'écriture d'un rationnel est vrai dans toute base. C'est cool :zen:

Luc

[DedenK]

Bonsoir,

Je suis impressionné... mais je le serai encore plus si l'on m'explique en quoi le fait de ne pas contenir de 1 dans le développement en base 3 me donne un irrationnel de C si le développement n'est pas périodique ! :-|
Je suis ok sur le lien entre non périodicité et irrationalité, mais à propos du 1, vraiment, je ne vois pas... Par exemple, 0,1 est dans C, tout comme 0,01, etc. mais bien évidemment, le développement est périodique, alors..........

Très gentil à vous de m'aider, en tous cas.
Cordialement, DedenK.

[Luc]

En fait, pour x réel de [0,1], possède un développement en base 3 qui n'a pas de 1 . Attention, il n'y a pas unicité de ce développement, par exemple

L'autre argument, c'est le développement en base 3 (et en fait en toute base b) est périodique.


Le développement de 1/3 est périodique: c'est normal, il est rationnel. C contient des rationnels et des irrationnels.

Cordialement,

Luc

[DedenK]

Bonjour,

Voilà qui est un peu plus clair pour ce qui est des rationnels comme 1/3, 1/9, etc.
Toutefois, ça ne m'explique toujours pas d'où vient le fait que x€C <=> x possède un développement en base 3 ne comportant pas de 1... A partir de la construction que j'ai, par récurrence, je ne vois pas d'où ça peut provenir.

Cordialement, DedenK.

[R.C.]

Bonjour,
En fait c'est assez visuel comme construction : si tu regardes les elements de [0,1] qui s'ecrivent 0,a******, avec a = 0 ou 2 en base 3, et bien tu t'apercois qu'ils forment les deux morceaux de l'intervale que tu conserves apres la premiere etape. Pour le dire autrement : quand tu decoupe [0,1] en trois, le premier morceau c'est les 0,0*****, lke second 0,1*****, et le dernier 0,2****. Apres je te laisse verifier la suite.

[Luc]

Bonjour,
En fait c'est assez visuel comme construction : si tu regardes les elements de [0,1] qui s'ecrivent 0,a******, avec a = 0 ou 2 en base 3, et bien tu t'apercois qu'ils forment les deux morceaux de l'intervale que tu conserves apres la premiere etape. Pour le dire autrement : quand tu decoupe [0,1] en trois, le premier morceau c'est les 0,0*****, lke second 0,1*****, et le dernier 0,2****. Apres je te laisse verifier la suite.

C'est exactement ça, à la subtilité près évoquée auparavant pour les nombres ayant deux développements dont l'un ne contient pas de 1. (ce sont les bornes des intervalles que tu découpes).

Luc

[DedenK]

Super !

Merci beaucoup. Effectivement, c'est beaucoup plus clair comme ça. Je pense que par récurrence (du style "le développement décimal jusqu'à la n-ième décimale ne contient pas de 1"), ça doit marcher sans trop de problème, non ?

Cordialement, DedenK.

[kazeriahm]

R\Q n'est pas négligeable !