Ensemble avec opération associative

[JuBa]

Bonjour,

Je m'appelle Julien, et je viens de commencer un programme de physiques en Allemagne. Je n'ai pas fait de maths pendant quelques temps, et je souffre depuis des heures pour comprendre ce problème (que je traduis approximativement):

Soit G un ensemble avec opération associative #. Soit e l'élément neutre correspondant à #, c'est à dire que pour chaque g appartenant à G, e # g = g # e = g. À partir de l'ensemble des parties de l'ensemble P(G), nous définissons l'opération:

P(G) x P(G) -> P (G)
(A, B) |-> A # B := {g appartient à G| il existe un a appartenant à A, un b appartenant à B tels que g = a # b}
(ou plus court A # B = {a # b| a appartient à A, b appartient à B}

(À noter que . est utilisé à la place de # dans l'énoncé original)

Montrez que:
a) cette opération est associative,
b) qu'il existe un élément neutre à cette opération. Lequel?

Voilà, je ne sais meme pas par où commencer car je ne comprends pas bien l'énoncé. Je me dis que dans tous les cas, je dois démontrer que (A # B) # C = A # (B # C), mais je n'arrive pas à saisir d'où je sortirais ce C..


Merci d'avance pour vos réponses.


Julien.

[L.A.]

Bonjour,

tu dois démontrer une égalité entre deux ensembles, c'est à dire montrer que tout élément de (A#B)#C se trouve également dans A#(B#C), et réciproquement. (A,B et C sont trois sous-ensembles quelconques de G)

Commence peut-être par la question b) : quel serait l'élément neutre selon toi ?

[JuBa]

Bonjour,

tu dois démontrer une égalité entre deux ensembles, c'est à dire montrer que tout élément de (A#B)#C se trouve également dans A#(B#C), et réciproquement. (A,B et C sont trois sous-ensembles quelconques de G)

Commence peut-être par la question b) : quel serait l'élément neutre selon toi ?

Avant que je n'essaye de répondre à ta question, j'ai une autre question :we: : est ce que je définis C tel que c appartient à C et (a#b)#c = g? Si oui, je dirais que c est l'élément neutre, car a#b = g, donc (a#b)#c= g#c = g. Mais peut etre que je dis n'importe quoi? :ptdr:

Merci pour ta réponse en tout cas, j'apprécie beaucoup ton aide.


J.

[L.A.]

Mais peut etre que je dis n'importe quoi? :ptdr:

C'est pas "peut-être" :zen:

Tu n'a pas à définir C ici, tu dois montrer que la propriété est vraie pour n'importe quels A,B,C dans P(G).

Je pense qu'un exemple concret pourra peut être t'aider : prenons , A={2,3} et B={5,7}. Que vaut A+B ?

[JuBa]

C'est pas "peut-être" :zen:

Tu n'a pas à définir C ici, tu dois montrer que la propriété est vraie pour n'importe quels A,B,C dans P(G).

Je pense qu'un exemple concret pourra peut être t'aider : prenons , A={2,3} et B={5,7}. Que vaut A+B ?

Dans ton exemple, on a donc G est l'ensemble des entiers naturels, et l'opération est une addition. Donc A # B = {7,10}?

[L.A.]

Il te manque des éléments dans A+B...

Prenons A={2,3} et B={5,7,11}, là que vaut A+B ?

[JuBa]

Il te manque des éléments dans A+B...

Prenons A={2,3} et B={5,7,11}, là que vaut A+B ?

Aaah en effet ce serait alors A+B = {2,3,5,7,11} je pense. Désolé, j'ai du mal à me situer avec les ensembles...

[L.A.]

Aaah en effet ce serait alors A+B = {2,3,5,7,11} je pense. Désolé, j'ai du mal à me situer avec les ensembles...

Mais non, tu t'éloignes là !

Par définition A#B s'obtient en prenant tous les éléments de A et additionnant ("diésant") chacun avec tous les éléments de B.

Dans mon exemple A+B = {2+5,2+7,2+11,3+5,3+7,3+11} = {7,9,13,8,10,14}

Maintenant prenons C = {1,4,9} et fais moi (A+B)+C.
Fais moi aussi B+C puis A+(B+C).

[JuBa]

Mais non, tu t'éloignes là !

Par définition A#B s'obtient en prenant tous les éléments de A et additionnant ("diésant") chacun avec tous les éléments de B.

Dans mon exemple A+B = {2+5,2+7,2+11,3+5,3+7,3+11} = {7,9,13,8,10,14}

Maintenant prenons C = {1,4,9} et fais moi (A+B)+C.
Fais moi aussi B+C puis A+(B+C).

Okay j'essaye encore:

(A + B) + C = {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 23}

B + C = {6, 8, 12, 9, 11, 15, 14, 16, 20}

Donc A + (B + C) = {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 23}

(j'ai ordonné les nombres pour simplifier la retranscription via clavier, mais est - ce normalement autorisé? )

[L.A.]

En effet. Si tu compares A+(B+C) et (A+B)+C tu dois remarquer quelque chose, et tu auras sans doute compris pourquoi.

[JuBa]

En effet. Si tu compares A+(B+C) et (A+B)+C tu dois remarquer quelque chose, et tu auras sans doute compris pourquoi.

Je remarque en effet que
(A + B) + C = {(2 + 5) + 1, (2 + 7) + 1, (2 + 11) + 1,...}
et
A + (B + C) = {2 + (5 + 1), 2 + (7 + 1), 2 + (11 + 1),...}

Ce qui me turlupine, c'est que si je fais un produit cartésien, j'obtiens les mêmes résultats :hein:

Merci pour toute cette aide en tout cas, ça me permet de clarifier mes nombreuses confusions.


J

[JuBa]

Et dans ton exemple je dirais comme ça que 0 est l'élément neutre en fait... Mais si c'était un produit ce serait 1 non?

[L.A.]

Si e est élément neutre dans G, {e} (le singleton = ensemble réduit à un élément e) sera élément neutre dans P(G).

Ca s'applique à (G,#,e) = (N,+,0) ou (N*,x,1) ou etc... (un ensemble G muni d'une loi associative avec élément neutre est appelée monoïde)

[JuBa]

Je te remercie de toutes tes réponses, je pense que ça m'amène dans la bonne direction et je vais plancher sur le problème jusqu'à ce que je le saisisse intégralement. Les cours ne sont pas toujours très clairs pour moi, entre autre parce qu'ils sont en Allemand lol :ptdr:

Bonne continuation à toi, merci encore.


J.

[L.A.]

So ich wünsche dich eine gute Arbeit und auf Wiedersehen :lol3: