E ens. fini, lci associative

par **Alpha** » 21 Sep 2005, 17:11

Bonjour à tous,

Le problème suivant aurait été posé en colle à un de mes camarades :

Soit E un ensemble fini, muni d'une loi de composition interne . associative.

Montrer qu'il existe h dans E tel que h² = h.

Pouvez-vous m'aider à résoudre cet exercice?

Merci d'avance.

par **khivapia** » 21 Sep 2005, 19:09

Bonjour,

Amusant ! c'est plutôt rare de trouver des exercices n'utilisant qu'aussi peu d'hypothèses !

As-tu des pistes ?

Je n'ai pas trop le temps d'y réfléchir, mais soit une récurrence (comme pour certaines propriétés de Sn) soit une application du principe des tiroirs me paraît envisageable.

Je cherche... Déjà pour n=2 ce n'est pas évident !

Bonne soirée.

par **Alpha** » 21 Sep 2005, 19:16

Oui, khivapia,

je suis moi-même étonné qu'il y ait si peu d'hypothèses. Mais, pourtant, c'est bien ce que m'a dit mon camarade.

Je n'ai pas vraiment de pistes. Mais, puisque E est fini, je commencerais par dire que pour tout élément, l'ensemble de ses puissances est fini. Mais après, je ne sais plus quoi faire.

En tout cas, je trouve cet énoncé spectaculaire, et je ne serais pas étonné que la démonstration le soit aussi! Ca doit être très fort d'arriver à montrer ça.

A plus tard, bonne soirée.

par **tµtµ** » 21 Sep 2005, 19:48

Salut,

Fun :)

Une soluce :

on prend une chaine de carrés :
a² = b
b² = c
c² = d
....
comme l'ensemble est fini on retombe forcément sur un déjà vu.

Par exemple on a : a²=b,b²=c,c²=a

Mézalor a^8 = ((a²)²)² = (b²)²=c²=a, bref a^8 = a. En multipliant par a^6 ça donne a^14 = a^7 et on a une jolie soluce avec h = a^7 :zen:

Généralisation immédiate dans le cas d'une chaine de longueur 'n'.

par **Alpha** » 21 Sep 2005, 19:56

Oui, je vois l'idée, et je pense que tu as raison!

Reste à écrire la chose formellement, et, surtout, à la généraliser pour n quelconque, ce qui ne me semble pas si aisé que ça.

En tout cas, merci beaucoup pour ta réponse, j'ai le sentiment que tu as trouvé le bon truc!

Cordialement

par **tµtµ** » 21 Sep 2005, 20:19

Alpha a écrit:généraliser pour n quelconque, ce qui ne me semble pas si aisé que ça.

Si a est le début d'une chaine de longueur n alors a^(2^n) = a et h²=h avec
h = a^(2^n-1) :marteau:

par **khivapia** » 21 Sep 2005, 21:47

Pas mal !

Ce qui est génial c'est que la solution tient en trois lignes en tout et pour tout !

par **phenomene** » 21 Sep 2005, 21:59

Dans le même genre, et avec à peine plus d'hypothèses.

Soit

un ensemble fini muni d'une loi de composition interne associative. On suppose que tous les éléments de

sont réguliers (c'est-à-dire, si l'on note la loi multiplicativement, on a

et

).

Montrer que cette loi munit

d'une structure de groupe.

par **Alpha** » 21 Sep 2005, 22:35

Merci à vous,

mais, personnellement, je ne vois pas pourquoi

a^(2^n) = a.

En effet, si la longueur de la chaine engendrée par a est n, alors cela veut dire que a^(2^n) a déjà été rencontré, ie qu'il existe k compris entre 0 et n-1 tel que a^(2^n) = a^(2^k).

Il est fort possible que je me trompe, mais j'ai l'impression que vous supposez une cyclicité qui n'existe a priori pas...

Si je me trompe, je vous serai reconnaissant de me l'indiquer, et, le cas échéant, de m'expliquer les choses plus en détail.

Merci d'avance.

Cordialement

par **Galt** » 22 Sep 2005, 17:01

Si on a

(avec

), alors en posant

on obtient

par **Alpha** » 22 Sep 2005, 17:50

Salut, Galt!

Je suis désolé d'être si lent à comprendre, mais je ne vois pas ce qui, dans ta réponse, montre qu'il existe h dans E tel que h² = h.

Je crois comprendre ta démarche, mais que peut-on tirer du fait que

? Si on avait

, on aurait répondu au problème, mais là, je ne vois pas comment répondre à partir de ce que tu as fait.

Peux-tu me l'expliquer?

Merci pour votre patience et votre aide.

par **Galt** » 22 Sep 2005, 18:22

On est ramené à la situation précédente, c'est-à-dire

E ens. fini, lci associative

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